НОА 2012, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4. Практическа задача. Юпитер и спътникът Йо

• $M_J = \frac{4\pi^2}{\gamma}\frac{a^3}{T^2} = 1.924\cdot10^{27}\ \text{kg}$

  От построенията се получават $R \approx 451\,000$ km за радиуса на орбитата на Йо и $T = 168\,000$ s $= 1^d22^h40^m$ за периода ѝ; фазовият ъгъл на Юпитер в момента на снимките е $\gamma \approx 6°$.

Решение: За да получим под какъв ъгъл Слънцето осветява Юпитер и спътниците му на 28 септември 2011г. относто линията Земя – Юпитер, използваме информацията за момента на опозиция. Ще фиксираме направлението Слънце – Юпитер в момента на противостоене, ще се върнем 31 дни назад и ще пресметнем ъгъла между направленията Слънце – Юпитер и Земя – Юпитер.

Нека в момента на опозиция, на 29 октомври 2011г., Юпитер се намира в точка J₁, а Земята е в точка E₁. На 28 септември, 31 дни по-рано, Юпитер и Земята ще са съответно в точки J₂ и E₂. За да решим задачата, трябва да намерим ъгъл γ, който е фазовият ъгъл на Юпитер в момента на наблюденията. За целта първо намираме ъгъл φ. Определяме на къкъв ъгъл се е завъртяла Земята по орбитата си от E₁ до E₂ и от този ъгъл изваждаме ъгъла, на който се е завъртял Юпитер за същото време. Ъглите на завъртане намираме като разделим 360° на броя на дните в годината за съответната планета, след което умножаваме по 31 дни. Получаваме ъгъла на завъртане на всяка една от планетите. За Земята получаваме, че ъгълът на завъртане е 29°.54, а за Юпитер - 2°.50. Търсеният ъгъл φ се получава като извадим втория ъгъл от първия. Получаваме:

Прилагаме косинусовата теорема за триъгълник J₂SE₂ и намираме разстоянието J₂E₂. След това за същия триъгълник прилагаме синусовата теорема и намираме ъгъл $\gamma \approx 6°$. Това е ъгълът под който Слънцето осветява спътниците на Юпитер спрямо линията Земя – Юпитер.

За реперни точки използваме сенките на спътника Йо върху повърхността на Юпитер. Ще прекараме линиите Слънце – Йо – сянка на Йо, като използваме определения по-горе ъгъл γ. След това ще ги пресечем с линии успоредни на линията Земя – Юпитер. Пресечните точки ще ни дадат две положения на спътника по неговата орбита. Провеждаме измервания върхи снимките. Измерваме екваториалния диаметър на Юпитер. Пресмятаме радиуса на изображенията на планетата. Измерваме отстоянието на изображението на спътника и на сенките на спътника от линията, свързваща двата полюса на планетата и перпендикулярна на неговия екватор. Намираме отношенията на отстоянията на сенките към радиуса на изображението на Юпитер. Построяваме в подходящ мащаб полукръг върху лист милиметрова хартия. Това е обърнатата към наблюдателя половина от екватора на планетата. Върху този полукръг нанасяме точки, съответстващи на положенията на сенките на Йо върху повърхността на Юпитер. (На дадените снимки сенките не са на екватора, но това се дължи на наклона на оста на планетата и на орбитите на спътниците към плоскостта на орбитата на Юпитер. Този наклон, щом виждаме сенките далеч от екватора, е преимуществено в направление към наблюдателя. Тогава положението на сенките се премества в посока перпендикулярна на екватора, без да се измества съществено встрани.) Приемаме, че направлението към наблюдателя е успоредно на линиите на милиметровата хартия. Тогава от сенките прекарваме прави линии под ъгъл γ. Проектираме положенията на изображенията на спътника върху линията на среза на екватора на Юпитер, използвайки подобни отношения от предоставените снимки. От тези проекции на спътника прекарваме прави линии, успоредни на направлението към наблюдателя, до пресичането им с наклонените линии от сенките на спътника. Пресечните точки са две положения на спътника върху неговата орбита. Намираме средното разстояние до центъра на планетата. Сравняваме с радиуса на построения полуекватор на планетата и преминаваме към реални единици, използвайки дадения ни в условието радиус на планетата. Получаваме, че радиусът на орбитата е:

Измерваме ъгъла с връх в центъра на Юпитер и лъчи към двете положения на Йо. Знаем какво време е изминало между двете положения на спътника. Оттук намираме периода на орбитално движение на Йо. Получаваме:

Прилагаме пълната форма на третия закон на Кеплер за Юпитер и параметрите на орбитата на Йо:

и получаваме за масата на Юпитер:

Стойностите за радиуса на орбитата и за периода не са много точни, но неточностите се компенсираха във формулата за масата и стойността, която получихме за нея се отличава от истинската изключително малко.

Критерии за оценяване (общо 20 т.):

За математическа обосновка на метода за определяне на ъгъла, под който Слънцето осветява Юпитер спрямо линията Земя-Юпитер – 4 т.

За правилно определяне на този ъгъл – 2 т.

За обяснение на метод, по който да се построят точки от орбитата на Йо чрез измервания на положенията на спътника и неговята сянка на снимките – 5 т.

За прецизно приложение на метода и определяне на радиуса на орбитата на спътника около Юпитер – 3 т.

За построения и измервания с цел да се определи орбиталния период на Йо и за получаване на този период – 4 т.

За определяне на масата на Юпитер – 2 т.