НОА 2012, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2. Тъмни небеса

• $x = \frac{r_p}{r_v} = \sin\varphi,\qquad T_v = T_S\cdot\frac{1-\sqrt{x^3}}{\sqrt{x^3}},\qquad M = \frac{4\pi^2 r^3}{\gamma T^2}$

  Отношението на радиусите следва от максималната елонгация на вътрешната планета, а орбиталният период на Водната планета – от синодичния период и III закон на Кеплер. За масата на звездата е нужен още поне един абсолютен радиус на орбита, който се получава от паралактично отместване при наблюдение на пасаж на Пясъчната планета от два раздалечени пункта.

Решение:

Ако в небето на една планета не се виждат звезди, астрономите там не могат да проследяват видимото движение на другите планети от своята система и на своето слънце на фона на звездното небе. Те единствено могат да наблюдават относителните движения на звездите и слънцето. Понеже Пясъчната планета е вътрешна за Водната планета, учените от Водната планета могат да наблюдават редуващите се моменти на съединения и максимални елонгации. От тези наблюдения те могат да измерват ъгловото отстояние $\varphi$ на Пясъчната планета от Тайната звезда при максимална елонгация.

Това може да им помогне да определят съотношението на орбиталните радиуси на двете планети. Както се вижда от чертежа:

Извънземните същества могат да определят от наблюденията си и синодичния период на планетата $T_S$ . Щом познават така добре теорията за гравитацията, можем да предположим, че знаят и III закон на Кеплер. Въз основа на това могат да се напишат следните уравнения:

където $T_p$ и $T_v$ са сидеричните периоди на Пясъчната и Водната планета. От тези уравнения получаваме:

Всъщност, астрономите от Водната планета могат да определят и орбиталния период на Пясъчната планета, макар това да не се иска в условието на задачата:

За да определят масата $M$ на Тайната звезда, на извънземните астрономи им трябва да знаят само още поне един от радиусите на планетните орбити. Тогава те могат да напишат III закон на Кеплер във вида:

където $r$ е орбиталният радиус на която и да е от планетите, а $T$ е нейният сидеричен период. Оттук се получава:

За да определят разстоянията на планетите до Тайната звезда, астрономите могат да наблюдават пасаж на Пясъчната планета по диска на Тайната звезда. За целта те трябва предварително да са определили размерите на собствената си планета и да наблюдават пасажа от най-малко два раздалечени един от друг пункта. При наблюденията от двата пункта Пясъчната планета ще се проектира на различни места върху диска на Тайната звезда. По това паралактично отместване, и като се знае разстоянието между двата наблюдателни пункта, може да се определи разстоянието от Водната до Пясъчната планета по време на пасажа. После лесно може да се определят и орбиталните радиуси на двете планети.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За разбиране на проблемите пред астрономите при липса на звезди и описание на идеята за метода за определяне на съотношението на орбиталните радиуси – 2 т.

За математическо представяне на метода – 2 т.

За правилно получаване на отношението на радиусите – 1 т.

За математическо представяне на метода за определяне на орбиталния период на Водната планета – 5 т.

За правилно пресмятане на периода – 1 т.

За математическо представяне на начина за определяне на масата на звездата – 2 т.

За качествено описание на начина за определяне на разстояния в планетната система – 2 т.