НОА 2012, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 1. Планетни системи

• А. $T_o = T_v/\sqrt{2^3} \approx 106,\ T_g = T_v/\sqrt{(\sqrt{2})^3} \approx 178,\ T_{og} \approx 262,\ T_{ov} \approx 164$

  Оранжевата и Зелената планета са вътрешни за Виолетовата: $r_o = r_v/2$, $r_g = r_v/\sqrt{2}$; периодите следват от III закон на Кеплер, а интервалите – от синодичните периоди.

• Б. Топлата планета се върти по-бързо около оста си.

  Слънчевите денонощия на двете планети са с еднаква продължителност, но звездните са $T_w^{\,*} = \frac{30}{31}T_w \approx 0.97\,T_w$ и $T_c^{\,*} = \frac{120}{121}T_c \approx 0.99\,T_c$, т.е. звездното денонощие на Топлата планета е по-кратко.

А. Щом като не се наблюдават на големи ъглови отстояния от Бялото слънце, Оранжевата и Зелената планета са вътрешни за Виолетовата планета.

Най-благоприятните периоди на видимост на една вътрешна планета са около моментите на максимална елонгация – максимално видимо отдалечаване от Слънцето. Да означим с S Бялото слънце, с O Оранжевата планета, с G Зелената и с V Виолетовата планета. Оранжевата и Зелената планета са в максимална елонгация за наблюдателите от Виолетовата планета. Това означава, че ъглите VOS и VGS са прави. Да означим с $r_o$, $r_g$ и $r_v$ радиусите на орбитите съответно на Оранжевата, Зелената и Виолетовата планета. В правоъгълния триъгълник VOS ъгълът SVO е равен на 30°. Следователно:

В правоъгълния триъгълник VGS ъгълът SVG е равен на 45°. Следователно:

Като използваме Питагоровата теорема, намираме:

Да означим орбиталните периоди на планетите съответно с $T_o$, $T_g$ и $T_v$. За да намерим тези периоди, използваме III закон на Кеплер:

Оттук последователно намираме периодите на Оранжевата и Зелената планета, изразени в денонощия на Виолетовата планета:

За жителите на Оранжевата планета останалите две планети – Зелената и Виолетовата – са външни. Периодите на най-благоприятна видимост на тези планети от Оранжевата планета са, когато те са в противостоене. Интервалите от време, през които се повтарят моментите на опозиция, са равни на синодичните периоди на двете планети по отношение на Оранжевата планета. Да означим тези синодични периоди съответно с $T_{og}$ и $T_{ov}$. За тях можем да напишем:

Б. Годината на Прохладната планета е 4 пъти по-дълга от годината на Топлата планета. В годината на Прохладната планета има 4 пъти повече дни, отколкото в годината на Топлата планета. Това означава, че денонощията за жителите на Топлата планета и на Прохладната планета са с еднаква продължителност. Не би ли трябвало да заключим, че двете планети се въртят еднакво бързо около своите оси? Тук, обаче, става дума за продължителността на слънчевите денонощия – те имат значение в живота на обитателите на планетите. Но слънчевото денонощие е периодът между две едноименни кулминации на Жаркото слънце – между два последователни момента, когато е пладне например. А “истинският” период на въртене на планетата е периодът й на въртене относно звездите – звездното денонощие. Всяка от планетите се върти около оста си в същата посока, в която обикаля около своето слънце, Ако за една година планетата се завърта около оста си $N$ пъти относно слънцето, то относно звездите тя прави точно с едно завъртане повече, или $N + 1$. Да отбележим с $T_w$ и $T_c$ слънчевите денонощия съответно на Топлата и на Прохладната планета, а $T_w^{\,*}$ и $T_c^{\,*}$ – звездните денонощия. В сила са следните съотношения:

Понеже $T_w = T_c$, можем да заключим, че периодът на оклоосно въртене на Топлата планета е по-кратък и следователно тя се върти около оста си по-бързо, отколкото Прохладната планета.

До същия резултат можем да достигнем и ако използваме познатите ни формули за връзката между звездното и слънчевото денонощие:

където $P_w$ = 30 дни и $P_c$ = 120 дни са орбиталните периоди на двете планети.

Критерии за оценяване (общо 18 т.):

Подусловие А (13 т.)

За правилно построяване на схемата – 2 т.

За определяне на орбиталните радиуси на Оранжевата и Зелената планета – 2 т.

За правилен математически метод на определяне на орбиталните периоди на двете планети – 2 т.

За верни числени отговори за периодите – 2 т.

За правилно посочване кога са най-благоприятните периоди видимост на външните планети за жителите на Оранжевата планета – 1 т.

За правилен начин на определяне на синодичните периоди – 2 т.

За верни числени отговори – 2 т.

Подусловие Б (5 т.)

За правилни теоретични соъбражения и математически подход – 2 т.

За верни числени отговори – 2 т.

За правилно заключение коя планета се върти по-бързо – 1 т.