НОА 2012, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 2. Наблюдения от Ганимед

• $m_T = -5.6^m + 2.5\lg 115.6 \approx -0.44^m,\quad m_L = -0.44^m + 2.5\lg 41.5 \approx 3.4^m,\quad \Delta = \frac{r_{TL}}{r_{JT}}\cdot\frac{180°}{\pi} \approx 0.024° \approx 1.4'$

  Земята е най-ярка за наблюдател от Ганимед близо до горно съединение, когато е почти напълно обърната с осветената си страна; понеже Ганимед няма атмосфера, тя се вижда и на малко ъглово отстояние от Слънцето. Отношението на осветеностите е $E_V/E_T \approx 115.6$, а $E_T/E_L \approx 41.5$.

Решение:

В справочните данни ни е дадена звездната величина на Венера, когато тя е в максимална елогация. Да означим с $r_T$ и $r_V$ радиусите съответно на земната орбита около Слънцето и на орбитата на Венера, а с $r_{TV}$ разстоянието от Земята до Венера, когато Венера е в максимална елонгация. Като използваме теоремата на Питагор, намираме:

Означаваме още с $L$ светимостта на Слънцето, а с $R_V$ и $A_V$ съответно радиуса и отражателната способност на Венера.

Осветеността $E_{VT}$, която Слънцето създава на единица повърхност на разстоянието до Венера, ще бъде $L/4\pi r_V^{\,2}$. Общата слънчева енергия, която попада върху повърхността на Венера, ще получим като умножим тази осветеност по площта на напречното сечение на Венера $\pi R_V^{\,2}$. Правим приближение, според което тази светлинна енергия се разсейва равномерно от осветената част на Венера в полусфера. Осветеността, която Венера създава върху Земята, ще получим, като умножим общата попадаща светлинна енергия върху Венера на отражателната й способност $A_V$ и разделим на $2\pi r_{TV}^{\,2}$. Така пресмятаме:

Трябва да отбележим, че при пресмятането на тази осветеност не сме отчели фазата на Венера, която в максимална елонгация е подобна на фазата на Луната в първа или последна четвърт. Следователно тази осветеност съответства не на действителната звездна величина на Венера $-4.6^m$, а на звездната величина, която тя би имала, ако беше изцяло обърната с осветената си страна към нас. Съгласно пояснението в задачата, тази звездна величина би трябвало да бъде $-4.6^m - 1^m = -5.6^m$.

За Юпитер Земята е вътрешна планета и би трябвало периодите на най-благоприятната й видимост да са около моментите на максимална елонгация на Земята.

Нека не забравяме, обаче, че спътникът Ганимед няма атмосфера. Това означава, че като си закрием Слънцето с ръка, ние ще виждаме Земята в черното небе на този спътник, дори когато тя е на малко ъглово отстояние от Слънцето. В момент, близък до горно съединение, Земята ще е почти изцяло обърната към нас с осветената си от него страна. Това ще я прави по-ярка, отколкото в максимална елонгация, въпреки че тогава тя ще е малко по-далеч от нас. Разликата в разстоянието няма да оказва съществено влияние върху видимата звездна величина на Земята, защото земната орбита е с над пет пъти по-малък радиус от орбитата на Юпитер.

Разстоянието от Юпитер до Земята в такъв случай ще бъде $r_{JT} = r_J - r_T$, където $r_J$ е радиусът на орбитата на Юпитер. За осветеността, създавана от Земята на Ганимед можем да напишем:

където с $A_T$ сме означили отражателната способност на Земята, а с $R_T$ нейния радиус.

Накрая намираме отношението на осветеността, която Венера създава върху Земята, и осветеността, която Земята създава въхру Ганимед:

Видимият блясък на Земята, гледана при това положение от Ганимед, ще бъде 115.6 пъти по-слаб, отколкото блясъкът на Венера за земните наблюдатели. Като знаем, че намаление на осветеността 100 пъти отговаря на разлика в звездните величини $5^m$, виждаме, че звездната величина на Земята, гледана от Ганимед, ще съответства на доста ярък блясък. С положителност Земята ще се вижда лесно с невъоръжено око от Ганимед. Като използваме логаритмичния вид на формулата на Погсон, получаваме по-точно видимата звездна величина на Земята за наблюдател от Ганимед:

За отношението на осветеностите, които Земята и Луната създават на Ганимед, можем да напишем:

където $A_L$ и $R_L$ са отражателната способност и радиусът на Луната. Звездната величина на Луната ще бъде:

Така че и нашият спътник ще е достатъчно ярък, за да го видим с невъоръжено око от Ганимед.

Дали ще можем обаче да различим Земята и Луната като отделни обекти? Ъгълът, под който ще виждаме разстоянието $r_{TL}$ между Земята и Луната, ще бъде:

Това е на границата на разделителната способност на човешките очи и следователно само хората с много добро зрение ще могат да различават двата обекта.

Критерии за оценяване (общо 20 т.):

• За пресмятане на осветеността, създавана на Земята от Венера в максимална елонгация – 3 т.
• За вярно разсъждение и отчитане на ефекта, свързан с фазата на Венера – 1 т.
• За правилни съображения и обяснения в каква позиция Земята ще е най-ярка за наблюдател на Ганимед – 2 т.
• За пресмятане на осветеността, създавана от Земята на Ганимед – 2 т.
• За правилен метод за определяне на звездната величина на Земята – 2 т.
• За верен числен резултат и извод дали Земята ще се вижда с просто око – 2 т.
• За определяне на звездната величина на Луната – 2 т.
• За верен числен отговор и извод дали ще се вижда с просто око – 2 т.
• За правилен метод за определяне дали ще различаваме двата обекта – 2 т.
• За определяне на видимото ъглово отстояние между Земята и Луната – 1 т.
• За правилно заключение дали ще се различават – 1 т.