Съдържание

НОА 2012, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 4. Практическа задача. Пасаж на Меркурий

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2012

XV Национална олимпиада по астрономия 2012, III кръг, ученици от 9-10 клас · 28 април 2012 г. · 16 т.

Условие

Практическа задача. Пасаж на Меркурий.

На 7 май 2003 г. се е наблюдавал пасаж на Меркурий – преминаване на планетата на фона на видимия диск на Слънцето. Пасажът е заснет от спътника TRACE, който е предназначен за наблюдение на факелите в слънчевата фотосфера. На снимката виждате последователните положения на планетата Меркурий, на фона на Слънцето, фотографирани през период 450 сек.

Снимка от спътника TRACE: горният край на слънчевия диск в жълто с фина гранулация и факели; върху него личи верига от десетки малки тъмни кръгчета – последователните положения на диска на Меркурий по време на пасажа, описващи слабо вълнообразна линия. — Последователните положения на Меркурий на фона на Слънцето, фотографирани от спътника TRACE през период 450 сек.

Спътникът TRACE се движи по полярна орбита около Земята. Движението на спътника се настройва така, че равнината на орбитата му винаги да е перпендикулярна на направлението към Слънцето. В следващата таблица са дадени отклоненията на видимото положение на Меркурий от средната линия на пасажа за различни моменти от време.

Време, h, min	5:19	5:27	5:34	5:42	5:49	5:57
Отклонение	+0.0010°	+0.0025°	+0.0045°	+0.0035°	+0.0023°	+0.0011°
Време, h, min	6:04	6:12	6:19	6:27	6:34	6:42
Отклонение	-0.0013°	-0.0025°	-0.0035°	-0.0044°	-0.0024°	-0.0011°
Време, h, min	6:49	6:57	7:04	7:12	7:19	7:27
Отклонение	+0.0015°	+0.0028°	+0.0046°	+0.0038°	+0.0038°	+0.0010°
Време, h, min	7:34	7:42	7:49	7:57	8:04	8:12
Отклонение	+0.0004°	-0.0013°	-0.0032°	-0.0039°	-0.0043°	-0.0024°
Време, h, min	8:19	8:27	8:34	8:42	8:49	8:57
Отклонение	-0.0010°	+0.0015°	+0.0025°	+0.0045°	+0.0035°	+0.0025°
Време, h, min	9:04	9:12
Отклонение	+0.0010°	+0.0000°

Постройте графика на изменението на ъгловото отклонение на Меркурий с времето и определете амплитудата на това изменение.
Определете орбиталния период на спътника и радиуса на неговата орбита.
Определете разстоянието в километри от Земята до Меркурий по времето, когато се е наблюдавал пасажът. Обяснете вашия метод на работа.

Масата на Земята е $5.97\times10^{24}$ кг, а гравитационната константа е $6.67\times10^{-11}$ м $^3$ /кг.с $^2$ .

Отговори

Решение

Решение:

Като използваме данните от таблицата, построяваме графика на изменението на ъгловото отклонение на Меркурий от средната линия на пасажа с времето.

Точкова графика със заглавие „Пасаж на Меркурий по диска на Слънцето, наблюдаван от спътника TRACE на 7 май 2003 г.“; по хоризонталната ос е времето от 04:48:00 до 09:36:00, по вертикалната – отклонението от средната линия в градуси от −0,005 до 0,006. Точките описват три пълни вълни с амплитуда около ±0.0045°. — Графика на ъгловото отклонение на Меркурий от средната линия на пасажа с времето.

Като прекараме плавна линия през точките, определяме средна стойност на амплитудата на отклонението ±0.0045°.

Вълнообразното видимо движение на Меркурий по време на пасажа се дължи на различните гледни точки, от които го фотографира спътникът при орбиталното си движение около Земята. Благоприятно обстоятелство за по-голямо видимо ъглово отместване на Меркурий е, че спътникът се движи винаги в равнина, перпендикулярна на направлението към Слънцето. Периодът на вълнообразното движение на Меркурий е равен на орбиталния период на спътника. Определяме този период от графиката или от снимката, като знаем, че на снимката изображенията са получени през интервал от време 450 секунди. По снимката например намираме, че три периода на лъкатушно движение на Меркурий са равни на 38 × 450 с. = 17100 с. Следователно орбиталният период на спътника е $T$ = 17100 : 3 ≈ 5700 с. = 1 ч. 35 мин.

Радиуса на орбитата на спътника $r$ намираме чрез III закон на Кеплер:

\frac{r^3}{T^2} = \frac{\gamma M}{4\pi^2},

където М е масата на Земята, а $\gamma$ е гравитационната константа.

r = \sqrt[3]{\frac{\gamma M T^{\,2}}{4\pi^2}} \approx 6897 \ \text{км}

Паралактичното отместване на Меркурий по време на пасажа показва, че за наблюдател от Меркурий радиусът на орбитата на спътника се е виждал под ъгъл, равен на 0.0045°. Нека разстоянието от Земята до Меркурий да е $x$ . В сила е следното съотношение:

r = x \times 0.0045° \times \frac{\pi}{180°}

x \approx 88\times10^6 \ \text{км}

Това разстояние е много близко до истинското разстояние, което е било по време на пасажа на Меркурий.

Критерии за оценяване (общо 16 т.):

За построяване на графиката – 3 т.
За определяне на амплитудата на отклонение на Меркурий – 2 т.
За обяснение на какво се дължи вълнообразното движение на Меркурий и извода, че периодът на движението е равен на орбиталния период на спътника – 3 т.
За определяне на периода на спътника по снимката или графиката – 2 т.
За пресмятане на радиуса на орбитата – 2 т.
За правилен математически подход при определяне на разстоянието до Меркурий и обяснение – 3 т.
За верен числен отговор – 1 т.

Оригинал в Архива: NOA3_2012_9-10problems.pdf · официални решения: NOA3_2012_9-10solutions.pdf