Съдържание

НОА 2012, IV кръг, Старша възраст — Задача 1. Провинциален характер

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2012

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XV НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · http://astro-olymp.org · IV кръг, 12 юли 2012 г., х. Бузлуджа · Ученици старша възраст · 12 юли 2012 г. · 12 т.

Условие

През 3012 г. Земната космическа империя владее Слънчевата система. Губернаторът на провинция Марс е обвинен от земния император в ретроградно политическо мислене. В отговор марсианецът заповядва с помощта на мощни ракетни двигатели орбитата на планетата му да бъде променена. В резултат на това по време на велико противостояние Марс вече не описва примка на фона на звездите за наблюдател от Земята, т.е. вече не извършва ретроградно движение.

Понастоящем разстоянието от Земята до Марс при велико противостояние е 0.372 а.е., а видимата му звездна величина достига до $-2.9^{\mathrm m}$ .

Справочни данни

Величина	Стойност
Голяма полуос на орбитата на Марс	1.524 а.е.
Маса на Юпитер	$2\times10^{27}$ кг
Маса на Слънцето	$2\times10^{30}$ кг
Радиус на Слънцето	700 000 км
Гравитационна константа	$\gamma=6.67\times10^{-11}$ м³ / кг.с²
Радиус на Земята	6370 км
Маса на Земята	$6\times10^{24}$ кг
Разстояние то Земата до Слънцето	$150\times10^6$ км

• Ако след промяната голямата полуос на марсианската орбита си остава същата като сегашната, какъв трябва да бъде новият ѝ ексцентрицитет?

• Каква ще бъде видимата от Земята звездна величина на Марс във Велико противостоене? С кои светила на земното небе ще си съперничи планетата Марс тогава?

Решение

Внимание: Непълно решение

Официалният ключ дава звездна величина, но не назовава светилата за поисканото сравнение.

Въвеждаме следните означения: rE – радиус на земната орбита aM – голяма полуос на марсианската орбита е – търсеният ексцентрицитет на орбитата на Марс MS – маса на Слънцето G – гравитационна константа. r1 – разстояние от Земята до Марс, във Велико противостоене при сегашния ексцентрицитет на орбитата му. r2 – разстояние от Земята до Марс, във Велико противостоене, при описаната ситуация

А) За не се наблюдават примки е необходимо линейната скорост на Марс в момента на противостоенето VM да е равна или по – голяма от земната скорост VE. За земната скорост можем да запишем:

V_E=\sqrt{GM_S/r_E}

Понеже говорим за Велико противостоене, то Марс трябва да се намира в перихелия на своята орбита. Следователно, неговата скорост в този момент може да се изрази по следния начин:

V_M=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\sqrt{\frac{GM_S}{a_M}}

Както казахме още в началото, за да няма примка, трябва да е изпълнено следното условие:

V_M\ge V_E

Оттук получаваме, че:

\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\sqrt{\frac{GM_S}{a_M}}\ge\sqrt{\frac{GM_S}{r_E}}

Следователно:

e\ge\frac{a_M-r_E}{a_M+r_E}

След пресмятане получаваме, че: $e\ge0{,}207$ . При тази ситуация разстоянието от Марс до Слънцето в перихелий е:

r_{\text{П}}=(1-e)a_M

Разстоянието до Земята във Велико противостоене в този случай е: $r_2=r_{\text{П}}-r_E$ Блясъкът на Марс, от гледна точка на земния наблюдател е обратнопропорционален на квадратите на разстоянията Марс – Слънце и Марс – Земя. Следователно отношението на яркостта на Марс при новия ексцентрицитет (при който не се наблюдава примка) към яркостта му при настоящия е дава с израза:

n=\frac{r_1^2}{r_2^2}\frac{(r_1+r_E)^2}{r_{\text{П}}^2}\approx5{,}5

Това означава, че при описаната ситуация Марс ще бъде 5,5 пъти по – ярък отколкото при сегашните Велики противостояния. Звездната му величина ще се промени с

\Delta m=-2{,}5\lg(n)\approx-1{,}7^{\mathrm m}

Получаваме, че звездната величина на Марс при такова Велико противостоене би била: $m\approx-4{,}6^{\mathrm m}$ .

Критерии за оценяване (общо 12т.):

А) – 8т.

условие да няма примка – 3т.
правилна математическа постановка – 3т.
преобразувания и краен отговор – 2т.

Б) – 4т.

-фактори, влияещи на блясъка – 2т.

-преобразувания и отговор – 2т.

Оригинал в Архива: NOA4_2012_STproblems.pdf · официални решения: NOA4_2012_STsolutions.pdf