Съдържание

НОА 2012, IV кръг, Старша възраст — Задача 2. Екзопланета

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2012

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XV НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · http://astro-olymp.org · IV кръг, 12 юли 2012 г., х. Бузлуджа · Ученици старша възраст · 12 юли 2012 г. · 16 т.

Условие

Младият астроном Димитър Борисов открива планета около далечна звезда. Звездата е същата като Слънцето. Според неговите наблюдения продължителността на пасажите на планетата по диска на звездата е 14.5 часа, а времето от началаото на един пасаж до началото на следващия е равен на една земна година. Астрономът Борисов е определил, че планетатат има маса 10 пъти по-голяма от масата на Юпитер и същата средна плътност, както плътността на звездата.

Справочни данни

Величина	Стойност
Голяма полуос на орбитата на Марс	1.524 а.е.
Маса на Юпитер	$2\times10^{27}$ кг
Маса на Слънцето	$2\times10^{30}$ кг
Радиус на Слънцето	700 000 км
Гравитационна константа	$\gamma=6.67\times10^{-11}$ м³ / кг.с²
Радиус на Земята	6370 км
Маса на Земята	$6\times10^{24}$ кг
Разстояние то Земата до Слънцето	$150\times10^6$ км

• Направете необходимите пресмятания и нарисувайте как би изглеждал пасажът на планетата по диска на звездата.

• Представете схематично кривата на блясъка на звездата по време на пасажа и определете амплитудата на изменение на звездната ѝ величина.

Решение

А) Интервалът от време между два последователни пасажа на планетата пред диска на звездата е 1 година. Това всъщност е орбиталният период на планетата T и той е равен на орбиталният период на Земята около Слънцето. Понеже звездата е същата като Слънцето, то тя има и същата маса MS. От тук можем да заключим, че би трябвало планетата да се намира на rE = 1 AU от звездата и движи с линейна скорост, равна на орбиталната скорост на Земята VE. Тази скорост е:

V_E=\sqrt{GM_S/r_E}

Използвайки тази скорост можем да пресметнем колко би продължил един централен пасаж на планетата пред диска на звездата. За времето между I-ви и IV-ти контакт планетата се премества на разстояние равно на сумата на диаметрите на звезда и нейния собствен. Означаваме радиуса на Слънцето с RS. Следователно, ако плътността му е ρS, то:

M_S=\frac{4\pi R_S^3}{3}\rho_S

Оттук намираме, че:

\rho_S=\frac{3M_S}{4\pi R_S^3}\approx1\,400\ \mathrm{kg/m^3}

Според условието това е и плътността на планетата. Означаваме масата на Юпитер с MJ. Съгласно задачата, планетата има маса 10MJ. Следователно, можем да запишем, че радиусът й е:

R=\sqrt[3]{\frac{3M_J}{4\pi\rho_S}}\approx150\,000\ \mathrm{km}

От тук можем да намерим, че един централен пасаж би трябвало да продължи време:

t_0=\frac{2(R_S+R)}{V_E}\approx15{,}9\ \text{ч}

Забелязваме, че в действителност пасажът продължава по – малко, време t = 14,5ч. Поради това можем да си направим извод, че пасажът не е централен, а планетата преминава през някаква хорда от звездата. Дължината на тази хорда се отнася към дължината на диаметъра на звездата тъй както се отнасят t и t0. За да направим схема на пасажа, то извършваме следната процедура:

-начертаваме окръжност с някакъв диаметър, която представлява диска на звездата;

-построяваме един неин диаметър

-от центъра на окръжността построяваме лъч, който сключва с построения вече диаметър ъгъл α, за който е изпълнено следното равенство:

\cos(\alpha)=\frac{t}{t_0}

Стойността на този ъгъл е $\alpha\approx24^\circ$ .

-от точката в която този лъч пресича окръжността, построяваме хора, която е успоредна на диаметъра. Тя всъщност представлява хордата по която се е движила планетата по време на пасажа Схемата на пасажа изглежда приблизително така:

Схема на пасажа с диска на звездата, четирите контакта и хордата на движение.

Б) Преминаването на планетата пред диска на звездата се състои от три интервала от време: T12 – между първи и втори контакт Т23 – между втори и трети контакт Т34 – между трети и четвърти контакт. За интервалите T12 и Т34 планетата се премества на едно и също разстояние, равно на нейния диаметър (2R). Следователно, продължителностите на тези интервали са равни по между си. Техните стойности са:

T_{12}=T_{34}=\frac{2R}{V_E}\approx2{,}8\ \text{ч}

През първия от тези два отрязъка от време планетата навлиза пред диска на звездата. Следователно, през него, блясъкът намалява. Между трети и четвърти контакт планетата напуска видимия диск на звездата и поради това яркостта нараства до обичайната си стойност. Между втори и трети контакт, планетата се намира изцяло пред диска на звездата. Тогава блясъкът на звездата остава почти постоянен (с точност до потъмняването на диска й към периферията). За да намерим промяната на звездната величина на звездата между тези два контакта трябва да пресметнем каква част от видимия диск на звездата се заема от тъмната половина на планетата. Можем да кажем, че ако E0 е яркостта на звездата преди планетата да е навлязла пред диска й, а E1 е яркостта й в интервала T23, то:

E_0\sim R_S^2\quad\text{и}\quad E_1\sim R_S^2-R^2

От тук следва, че:

\frac{E_0}{E_1}=\frac{R_S^2}{R_S^2-R^2}\approx1{,}05

Съгласно закона на Погсон:

\Delta m=2{,}5\lg\left(\frac{E_0}{E_1}\right)\approx0{,}05^{\mathrm m}

Продължителността на интервала от време между втория и третия контакт е $T_{23}=t-2T_{12}=8{,}9\ \text{ч}$ . Следователно, можем да заключим, че кривата на блясъка на звездата изглежда по следния начин:

Крива на блясъка с изменение Δm и трите интервала T12, T23, T34.

Критерии за оценяване (общо 16т.):

А) – 10т.

намиране на радиуса на планетата – 1т.
намиране на продължителността на централен пасаж – 2т.

-идея за наличието на наклон на планетната орбита – 2т.

-отношение на хордата по която се движи планетата и диаметъра на звездата – 3т.

-правилна схема – 2т.

Б) – 6т.

-продължителност на трите интервала от време – 2т.

-промяна на звездата величина – 2т.

-правилна крива на блясъка-2т.

Оригинал в Архива: NOA4_2012_STproblems.pdf · официални решения: NOA4_2012_STsolutions.pdf