Съдържание

НОА 2012, IV кръг, Старша възраст — Задача 3. Забележителен удар

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2012

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XV НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · http://astro-olymp.org · IV кръг, 12 юли 2012 г., х. Бузлуджа · Ученици старша възраст · 12 юли 2012 г. · 16 т.

Условие

Космическият хандбалист Дилян Христов се намира в орбитална станция, движеща се по кръгова екваториална орбита с височина 400 км над земната повърхност. Станцията се движи в посоката на въртене на Земята. По радиото научава, че неговият приятел Калин Кръстев се е появил на Марс. При поредното излизане в открития космос хандбалистът Дилян мята с всичка сила средно голяма зелка в нужната посока. Каква трябва да е минималната начална скорост на зелката, така че тя да стигне до Марс?

Справочни данни

Величина	Стойност
Голяма полуос на орбитата на Марс	1.524 а.е.
Маса на Юпитер	$2\times10^{27}$ кг
Маса на Слънцето	$2\times10^{30}$ кг
Радиус на Слънцето	700 000 км
Гравитационна константа	$\gamma=6.67\times10^{-11}$ м³ / кг.с²
Радиус на Земята	6370 км
Маса на Земята	$6\times10^{24}$ кг
Разстояние то Земата до Слънцето	$150\times10^6$ км

Решение

Както знаем, най – енергетично изгодната орбита, по която зелката може да достигне до Марс е елиптична орбита с перихелийно разстояние равно на разстоянието Земя – Слънце rE и афелийно равно на разстоянието Марс – Слънце rM. Голямата полуос на тази орбита е

a=\frac{r_E+r_M}{2}=1{,}26\ \mathrm{AU}

a ексцентрицитетът

e=\frac{r_M-r_E}{r_M+r_E}\approx0{,}21.

Нека да изстреляме тялото с начална скорост V0 относно Земята, по посока на нейното орбитално движение (което допълнително улеснява задачата на Дилян). Ако с MЗ означим масата на Земята, а с RЗ нейния радиус, то в момента на изстрелване, в отправна система, свързана със Земята, зелката има пълна механична енергия:

\frac{mV_0^2}{2}-\frac{GM_{\text{З}}m}{R_{\text{З}}}

Нека да разгледаме точка от траекторията на зелката, в която тя се намира на разстояние $X\gg R_{\text{З}}$ от Земята и има скорост относно нашата планета V1. В това положение тялото практически няма да взаимодейства с планетата ни поради голямото разстояние до нея (с други думи ще се намира вън от сферата й на гравитационно влияние и вече за него по – значимо ще бъде гравитационното въздействие на Слънцето). Следователно, можем да пренебрегнем гравитационната му потенциална енергия относно Земята и да запишем закона за запазване на енергията в следния вид:

\frac{mV_0^2}{2}-\frac{GM_{\text{З}}m}{R_{\text{З}}}=\frac{mV_1^2}{2}

(1). Скоростта V1 е относно Земята. Но тя се движи със скорост VE спрямо Слънцето и зелката е хвърлена по посока на тази скорост. От тук следва, че скоростта на зелката спрямо Слънцето е равна на: $V=V_1+V_E$ (2). Понеже, както вече казахме, зелката е много далеч от нашата планета, тя не взаимодейства гравитационно с нея. Това означава, че от тук нататък тя се движи само в гравитационното поле, създадено от Слънцето. Поради това, скоростта й спрямо него, трябва да бъде така, че да се равнява на перихелийната скорост по елипсата, която зелката трябва да опише. Следователно:

V=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\sqrt{\frac{GM_S}{a}}\approx32{,}5\ \mathrm{km/s}

От уравнение (2) получаваме, че $V_1\approx2{,}8\ \mathrm{km/s}$ . Замествайки в уравнение (1), за началната скорост на зелката, относно Земята получаваме следния израз:

V_0=\sqrt{\frac{2GM_{\text{З}}}{R_{\text{З}}}+V_1^2}\approx11{,}5\ \mathrm{km/s}

Но зелката се хвърля от космическа станция, която се движи по кръгова орбита с височина над земната повърхност h. Нейната орбитална скорост е:

V'=\sqrt{\frac{GM_{\text{З}}}{R_{\text{З}}+h}}\approx7{,}6\ \mathrm{km/s}

Дилян би могъл да хвърли зелката в момент в който тази скорост е насочена точно по посока на земната орбитална скорост. Тогава той ще трябва да й придаде скорост, относно космическата станция (т.е. относно неговата собствена отправна система), която е равна на разликата на V0 и V’. Така началната скорост може да бъде сведена до минимум 3,9km/s. Максимален ефект може да се постигне по време на равноденствие, понеже в условието е казано, че космическата станция се движи по екваториална орбита и тогава тази орбита ще е точно в равнината на еклиптиката.

Критерии за оценяване (общо 16т.):

-най – енергетично изгодна орбита – 4т.

правилно описание на ситуацията до напускане на земната сфера на влияние – 3т.
преход в ОС, свързана със Слънцето – 2т.
скорост, относно Слънцето в положението, когато зелката се намира на разстояние Х от Земята – 3т.
отчитане на орбиталната скорост на станцията – 2т.

-преобразувания и краен отговор – 2т.

Оригинал в Архива: NOA4_2012_STproblems.pdf · официални решения: NOA4_2012_STsolutions.pdf