НОА 2013, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 2. Островът на русалките

• • В лявата част на самолета.

  Полетът е от София към Лондон, т.е. на запад; Луната е близо до последна четвърт и е над южната част на хоризонта.

• • $h = 5^\circ,\quad SS_1 = h\sqrt{2} \approx 7^\circ,\quad \frac{7^\circ}{15^\circ}\cdot 1^h \approx 28^{\min}$ ≈ $5.53$ h (местно време)

  Слънцето е на $5^\circ$ под хоризонта; снимката е направена приблизително в 5 ч. 32 мин. по местно време (приблизителна оценка: около 5:30 с точност до половин час).

• • По-близо до екватора.

  Само в зоната между тропичните окръжности Слънцето минава през зенита; на самия екватор това става в дните на равноденствията, т.е. през половин година.

• • В северното полукълбо.

  На екватора интервалът между двата дни не е точно половин година, защото периодът от пролетното до есенното равноденствие е по-дълъг; точно половин година се получава малко на север от екватора.

Разположението на сянката на Земята показва, че Слънцето е било малко под хоризонта и наляво от гледката през илюминатора на самолета. Фактът, че се вижда Луната, означава, че не е възможно младият астроном Каравасилев да е гледал към северната част на хоризонта. Фазата на Луната е близо до последна четвърт и това означава, че времето е малко преди изгрева на Слънцето, а тя е над южната част на хоризонта. Астрономът е пътувал от София към Лондон, т.е. на запад. Следователно той е седял в лявата част на самолета.

Очертаваме на снимката хоризонта и границата на земната сянка. Продължаваме двете прави линии до пресичането им и измерваме ъгъла между тях $h$. Получаваме $h = 5^\circ$. Този ъгъл е равен на отстоянието на Слънцето от хоризонта, т.е. Слънцето е на $5^\circ$ под хоризонта.

Денят е 20 март – пролетното равноденствие. Тогава Слънцето е било в пролетната равноденствена точка и се е намирало на небесния екватор (или близо до това положение, ако снимката не е направена точно в момента на пролетното равноденствие). То е трябвало да изгрее в 6 часа по местно време. Понеже снимката е направена, когато Слънцето е било само на $5^\circ$ под хоризонта, можем приблизително да кажем, че това е било около 5:30 часа с точност до половин час. Можем да направим и по-точна оценка. Денонощният паралел на Слънцето при деклинация $0^\circ$ е голям кръг от небесната сфера. Той сключва ъгъл с хоризонта $90^\circ - \varphi = 45^\circ$, където $\varphi = 45^\circ$ е географската ширина.

На схемата с S е отбелязано положението на Слънцето. До изгрева то има да измине път $SS_1$. Тъй като триъгълник $SS_1S_0$ е правоъгълен и равнобедрен, то $S_0S_1 = S_0S = h = 5^\circ$. Съгласно Питагоровата теорема:

Движейки се по голям кръг от небесната сфера, Слънцето изминава $15^\circ$ за един час. Следователно до изгрева му остава време $\dfrac{7^\circ}{15^\circ}\cdot 1^h \approx 0.467^h \approx 28^{\min}$.

Снимката трябва да е направена приблизително в 5 ч. 32 мин. по местно време.

Слънцето може да се наблюдава в зенита по пладне в зоната между северната и южната тропични окръжности. На екватора това се случва в дните на пролетното и есенното равноденствие. Следователно, ако наблюдаваните от Никола Каравасилев моменти, в които Слънцето се издига до зенита по пладне, са през половин година, то Островът на русалките е близо до екватора.

На северната тропична окръжност Слънцето достига зенита по пладне само веднъж в годината – в деня на лятното слънцестояние за северното полукълбо на Земята. Ако от северната тропична окръжност започнем да се приближаваме към екватора, то ще наблюдаваме два дни в годината, когато по пладне Слънцето ще се издига до зенита. Тези два дни отначало ще бъдат близо до деня на лятното слънцестояние – единият от тях малко преди, а другият малко след слънцестоянието. Колкото повече се приближаваме към екватора, толкова повече ще се раздалечават от слънцестоянието двата дни, в които Слънцето се издига по пладне до зенита, и ще се приближават до датите на равноденствията. В южното полукълбо ситуацията е аналогична, но там на южната тропична окръжност Слънцето се издига до зенита в деня на зимното слънцестояние за нас.

Ако дните, в които Слънцето по пладне достига зенита, се случват точно през половин година, то отвлеченият астроном не се намира на екватора. На екватора тези дни не са точно през половин година. Това е така, защото периодът от пролетното равноденствие до есенното е малко по-дълъг, отколокото от есенното равноденствие до пролетното. Причината е неравномерното движение на Земята по нейната елиптична орбита около Слънцето и факът, че тя минава през своя перихелий през януари, а през афелия – през юли. Ако дните, в които Слънцето достига до зенита, са точно през половин година, то значи, че те са леко приближени към деня на лятното слънцестояние в сравнение с дните, когато това се случва на екватора. Следователно в такъв случай Островът на русалките се намира малко на север от екватора – в северното полукълбо.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За определяне от коя страна на самолета е седял астрономът и обяснение – 1 т.

За установяване на факта, че снимката е направена малко преди изгрева (а не залеза) на Слънцето, и обяснение – 1 т.

За измерване и определяне на отстоянието на Слънцето от хоризонта – 2 т.

За обосновка и определяне в колко часа е направена снимката по по-точния метод – 2 т. (При привеждане на приблизителна оценка, вместо 2 се дават 1 точки).

За правилни разсъждения, че островът се намира близо до екватора – 3 т.

За правилни разсъждения, че островът ще е в северното полукълби – 3т.