НОА 2013, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 3. Обратно движение

• • $T_{syn} = \frac{T_0 T_{sid}}{T_0 + T_{sid}} \approx 25.42\ \text{денонощия}$

  Приблизителното пресмятане $T_{syn} = T_{sid}\left(1 - \dfrac{T_{sid}}{T_0}\right)$ дава $\approx 25.28$ денонощия; двата метода се оценяват равностойно.

• • В първа четвърт Луната ще е на 90° западно от Слънцето и ще изглежда като полукръг, изпъкнал на изток; в последна четвърт ще е на 90° източно от Слънцето и ще изглежда като полукръг, изпъкнал на запад.

  Рисунките са дадени на фигурата към решението (обратно на сегашния вид).

• • В края на септември и през по-голямата част на октомври.

  Слънцето ще е на три зодиакални знака източно от Луната, т.е. в съзвездието Дева.

• • $\Delta t = \frac{P'}{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{T_{sid}P}{T_{sid}+P} \approx 0.4809\ \text{денонощия} \approx 11^{h}33^{m}$

  $\approx$ 11 ч. 33 м. Публикуваното решение не отговаря на втория подвъпрос – как приливните вълни ще влияят върху околоосното въртене на Земята.

На схемата в позиция 1 е изобразена Луната в новолуние. След един сидеричен лунен месец Луната е направила пълна обиколка по своята орбита и е в позиция 3. През това време Земята се е завъртяла по орбитата си около Слънцето на ъгъл $\Delta$. От схемата се вижда, обаче, че моментът на второто новолуние – позиция 2 на Луната – вече е минал. От него до позиция 3 Луната се е придвижила на същия ъгъл $\Delta$ по своята орбита около Земята.

От момента, когато Луната е била в положение 1, до момента, когато стигне до положение 3, изминава един сидеричен месец. Следователно, ако Луната се движи в посока обратна на сегашната, синодичният месец ще е не по-дълъг, както сега, а по-кратък от сидеричния. Да означим сидеричния лунен месец с $T_{sid}$, синодичния с $T_{syn}$, а орбиталния период на Земята около Слънцето с $T_0$. За ъгъла $\Delta$ можем да напишем:

Луната се придвижва от положение 2 до положение 3 за време, равно на $T_{sid} \cdot \dfrac{\Delta}{360^\circ}$. Тогава за синодичния лунен месец получаваме:

Това е приблизително пресмятане, понеже не отчитаме факта, че при новолунието в позиция 2 Земята още няма да е достигнала положението по орбитата си, в което сме я поставили, и ъгълът, на който Луната ще трябва да се дозавърти, за да довърши орбиталната си обиколка (до изтичането на сидеричния месец) ще е малко по-голям от $\Delta$. По-точен резултат можем да получим, като използваме следното съотношение:

Оттук пресмятаме:

Ако Луната се движи обратно по своята орбита, то тя ще се премества на фона на звездите от изток на запад, а не както сега – от запад на изток. Така ще се премества Луната и спрямо Слънцето. След новолуние, за земния наблюдател Луната ще се отклонява на запад от Слънцето и сърпът на новата Луна ще бъде изпъкнал на изток. По-нататък той ще се изпълва до първа четвърт, когато Луната ще се намира на $90^\circ$ западно от Слънцето. В последна четвърт Луната ще бъде на $90^\circ$ източно от Слънцето и ще изглежда като полукръг изпъкнал на запад.

Във фаза първа четвърт Луната ще бъде на $90^\circ$ западно от Слънцето, както вече отбелязахме. Ако тогава тя се наблюдава в съзвездието Близнаци, то Слънцето ще се намира на три зодиакални знака източно от нея, т.е. в съзвездието Дева. Слънцето е в това съзвездие в края на септември и през по-голямата част на октомври.

Да означим с $P$ периода на околоосно въртене на Земята, или звездното денонощие, равно на 23 ч. 56 м. Нека $P'$ е интервалът от време, през който Луната преминава над една и съща точка от земното кълбо (За простота тук не разглеждаме наклона на земната орбита и наклона на лунната орбита към еклиптиката). Тъй като Луната ще обикаля около Земята в посока обратна и на земното околоосно въртене, можем да определим този интервал от следното съотношение:

Оттук получаваме:

Както знаем, обаче, при приливното въздействие на Луната, в земните океани се получават две приливни вълни – едната от страната на Земята, която е обърната към Луната, а другата – от противоположната страна. Следователно за време $P'$ през дадено място на Земята ще преминават две приливни вълни, или периодът $\Delta t$, през който това ще се случва, ще бъде равен на $P'/2$. Така намираме:

Критерии за оценяване (общо 14 т.):

За правилен метод на изчисление на синодичния период – 3 т.

За правилен числен отговор – 1 т.

Забележка – приблизителният метод с разсъжденията и използването на точната формула да се оценяват равностойно.

За рисунки на Луната в първа и последна четвърт и обяснение – 3 т.

За обяснетие и отговор в кой месец Луната в първа четвърт може да е в Близнаци – 3 т.

За правилен метод на пресмятане на интервала между приливните вълни – 3 т.

За правилен числен резултат – 1 т.