НОА 2013, III кръг (национален), 7–8 клас — Практическа задача. Пръстенообразно слънчево затъмнение

• • Близо до апогея на лунната орбита.

  Дискът на Луната на снимката е съществено по-малък от този на Слънцето, значи Луната е далече от Земята.

• • $\delta_{Л} = \delta_{Сл}\cdot\frac{d_{Л}}{d_{Сл}} = 31.6' \cdot \frac{145\ \text{mm}}{156\ \text{mm}} = 29'.4$

  Измерени по снимката: $d_{Сл} = 156$ mm, $d_{Л} = 145$ mm.

• • $\Delta t' = 1.06\times 1.055\times \Delta t = 4.84\ \text{минути} = 4^{m}51^{s}$

  Без поправката за апогея $\Delta t = T_{Sin}\cdot\dfrac{\Delta\delta}{21600'} = 4.33$ минути $= 4^{m}20^{s}$, при $T_{Sin} = 29^{d}.53$ и $\Delta\delta = 2'.2$.

Виждаме, че на снимката на затъмнението дискът на Луната е съществено по-малък от диска на Слънцето. Това означава, че Луната се намира в такава част от своята орбита, в която е далече от Земята. Най-далече от Земята се намира апогеят на лунната орбита. Следователно Луната се намира близо до апогея на орбитата си.

За да определим ъгловия диаметър на видимия лунен диск, ще го сравним с видимия диск на Слънцето. Измерваме диаметрите на двата диска по снимката и получаваме за диска на Слънцето $d_{Сл} = 156$ mm, а за диска на Луната $d_{Л} = 145$ mm. От условието е известно, че видимият ъглов размер на диска на Слъцето е $\delta_{Сл} = 31.6'$. Тогава за Луната получаваме:

Щом приемаме, че снимката е направена от област на земната повърхност, която е близка до северния географски полюс, то не е необходимо да вземаме предвид движението на наблюдателя вследствие въртенето на Земята. Точки от земната повърхност, които се намират близо до полюсите, се движат с много малка скорост относно центъра на Земята. Затова може да приемем, че се движим относно Слънцето успоредно на центъра на Земята и със същата скорост. Тогава продължителността на явлението ще зависи само от орбиталното движение на Земята около Слънцето, от орбиталното движение на Луната около Земята и от видимите ъглови размери на Слънцето и Луната.

Понеже разглеждаме явление чиито характеристики зависят от видимото движение на лунния диск относно слънчевия диск, то трябва да потърсим начин да определим скоростта на движение на единия диск относно другия. Знаем, че периодът на орбитално движение на Луната относно Слънцето, се дава от така наречения синодичен месец. Ще намерим неговата продължителност използвайки дадените в условието сидерични (т.е. звездни; определени относно звездите) периоди на Луната около Земята и на Земята около Слънцето. Периодът на завъртане на Земята около Слънцето е равен на периода на видимото движение на Слънцето относно звездите и се нарича звездна година. Тогава, използвайки формулата за синодичен и сидеричен период, получаваме:

където:

$T_0$ – звездна година (период на видимото движение на Слънцето, относно звездите).

$T_{Sid}$ – сидеричен лунен месец

$T_{Sin}$ – синодичен лунен месец

Получихме периода на завъртане на Луната относно линията Земя – Слънце. Относно тази линия, за един пълен синодичен период, Луната изминава $360^\circ$ по своята орбита. Нас, обаче, ни интересува за колко време Луната ще измине ъглово разстояние равно на разликата в ъгловите размери на Слънцето и Луната. Това е разстоянието което лунният диск изминава, намирайки се изцяло върху диска на Слънцето. Ако разглеждаме това явление като пасаж на Луната по диска на Слънцето, то ние търсим времето между 2-ри и 3-ти контакт.

Разликата между ъгловите размери на слънчевия и лунния диск е: $\Delta\delta = \delta_{Сл} - \delta_{Л} = 2'.2$

Нека продължителността на пръстенообразната фаза е $\Delta t$. Тогава:

Това би било вярно, ако разглеждахме средното движение на Луната около Земята. В нашия случай, обаче, Луната е в апогей и се движи по-бавно с 5.5% от средната й скорост на движение по орбитата. Освен това се намира с 6% по-далече. Може да си представим, че Луната се движи с по-малка скорост, по кръгова орбита с по-голям радиус от сегашното средно разстояние до Земята. И двата ефекта водят до пропорционално намаляване на скоростта на придвижване на Луната на фона на звездите и следователно до пропорционално увеличаване на продължителността на затъмнението.

Затова в действителност ще наблюдаваме затъмнението по-дълго време:

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За правилни разсъждения, че Луната се намира в апогей – 2т.

За измерване и правилно пресмятане на ъгловите размери на Луната – 3т.

За правилни разсъждения относно движението на наблюдателя заедно със Земята – 2т.

За правилен метод на изчисление на синодичния период – 2 т.

За правилен метод за пресмятане на продължителността на затъмнението – 3т.

За правилно отчитане ефекта от по-далечната и по-бавна Луна – 2т.

За точен краен резултат – 1т.