Съдържание

НОА 2013, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 2. Цялото Слънце

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2013

XVI Национална олимпиада по астрономия 2013, национален кръг, тема за възрастова група IX-X клас · 13 април 2013 г. · 10 т.

Условие

Космическите станции STEREO А и STEREO В се движат около Слънцето по орбити, близки до земната орбита. Те имат за задача да фотографират Слънцето от различни страни. Орбиталните периоди на двете станции са такива, че едната от тях леко изпреварва Земята при движението си около Слънцето, а другата леко изостава, но винаги двете станции са отклонени на еднакви ъгли симетрично от двете страни на Земята по нейната орбита. Станцията STEREO A се движи по орбита, чиито радиус е с $5.58 \times 10^6$ км по-малък от радиуса на земната орбита.

Радиусът на земната орбита е $149.6 \times 10^6$ км.

• Намерете орбиталните периоди на двете станции. [8 т.]

• Колко време след старта двете станции ще бъдат на по $90^\circ$ от двете страни на Земята почти по нейната орбита и ще фотографират две противоположни страни на Слънцето? [2 т.]

Отговори

Решение

Означаваме с $r_0$ радиуса на земната орбита около Слънцето, а с $r_A = r_0 - \Delta r$ радиуса на орбитата на станцията STEREO A ( $\Delta r = 5.58 \times 10^6$ км). Нека $T_0$ е орбиталният период на Земята около Слънцето, а $T_A$ – периодът на станцията. Съгласно III закон на Кеплер:

\frac{r_A^{\,3}}{T_A^{\,2}} = \frac{r_0^{\,3}}{T_0^{\,2}}

Оттук намираме орбиталния период на станцията STEREO A:

T_A = T_0\sqrt{\left(\frac{r_A}{r_0}\right)^3} \approx 0.9446 \ \text{години} \approx 345 \ \text{дни}

Да разгледаме движението на станциите в координатна система, в която Земята е неподвижна. След старта те ще се отдалечават по орбитите си от Земята в две противоположни посоки. Тъй като изискването е да са отклонени на еднакви ъгли симетрично от двете страни на Земята, то след време те и двете ще се озоват на $180^\circ$ от Земята, а след още толкова време ще се съберат отново близо до Земята. Това означава, че синодичните периоди на двете станции са еднакви. Да пресметнем синодичния период $T_S$ на станцията STEREO А:

\frac{1}{T_S} = \frac{1}{T_A} - \frac{1}{T_0}

T_S = \frac{T_0 T_A}{T_0 - T_A} \approx 17.0505 \ \text{години}

Станцията STEREO В има същия синодичен период и следователно:

\frac{1}{T_S} = \frac{1}{T_0} - \frac{1}{T_B}

където $T_B$ е сидеричният период или истинският орбитален период на станцията STEREO В. Оттук пресмятаме:

T_B = \frac{T_S T_0}{T_S - T_0} \approx 1.0623 \ \text{години} \approx 388 \ \text{дни}

Интервалът от време, за който след старта двете станции ще се отдалечат на $90^\circ$ от двете страни на Земята и ще могат да фотографират двете противоположни страни на Слънцето, е равен на една четвърт от синодичния период на станциите:

17.0505 / 4 \approx 4.26 \ \text{години} \approx 4 \ \text{год.} \ 95 \ \text{дни} = 1556 \ \text{дни}

Критерии за оценяване (общо 10 т.):

За намиране на орбиталния период на станцията STEREO А – 2 т.

За съобразяване, че двете станции имат еднакъв синодичен период и обяснение – 2 т.

За определяне на синодичния период – 2 т.

За пресмятане на орбиталния период на стнацията STEREO В – 2 т.

За определяне кога станциите ще са от две противоположни страни на Слънцето – 2 т.

Оригинал в Архива: NOA3_2013_9-10problems.pdf · официални решения: NOA3_2013_9-10solutions.pdf