НОА 2013, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 3. Сатурн в небето

• • По-ранен – Сатурн е бил в източна квадратура и се приближава към горно съединение със Слънцето, така че видимото му ъглово отстояние от Слънцето намалява.

• • $t = T' \cdot \frac{240^\circ}{360^\circ} \approx 13.3\ \text{години}$

  Синодичният период на Сатурн за юпитериански наблюдател е $T' = 20$ години.

• • В съзвездието Рак.

Юпитерианският астроном любител е видял Сатурн да залязва в полунощ по местно време. Това означава, че Сатурн е бил в източна квадратура за наблюдател на Юпитер (положение 1 на схемата). Ъгловата скорост на Сатурн около Слънцето е по-малка от тази на Юпитер. Сатурн изостава по орбитата си в сравнение с Юпитер и следователно за юпитерианския наблюдател в следващите дни видимото му ъглово отстояние от Слънцето ще намалява. Това означава, че часът на залеза на Сатурн ще става все по-ранен и той ще се вижда за все по-кратко време във вечерното юпитерианско небе – Сатурн ще се приближава към горно съединение със Слънцето.

В условието са дадени приблизителни стойности, според които орбиталният радиус на Сатурн $r_s$ е двойно по-голям от орбиталния радиус на Юпитер $r_j$. Оттук следва, че ъгълът $\alpha$ е равен на $60^\circ$. За да се наблюдава изгрев на Сатурн в полунощ, той трябва да е в западна квадратура – положение 2 на схемата. В координатна система, неподвижно свързана с Юпитер, планетата Сатурн трябва да се придвижи по часовниковата стрелка от положение 1 до положение 2, което съответства на ъгъл $360^\circ - 2 \times 60^\circ = 240^\circ$. Това движение ще се извършва с ъглова скорост, съответстваща на синодичния период на Сатурн $T'$. Можем да го намерим по формулата:

където $T_j$ и $T_s$ са орбиталните период на Юпитер и Сатурн.

Търсеното време е:

При първоначалното наблюдение, когато е в положение 1, Сатурн се е виждал в съзвездието Водолей. Когато стигне до положение 2, той ще бъде на $120^\circ$ източно от първоначалното си положение 1. Това съответства на 4 зодиакални съзвездия, или Сатурн трябва да се вижда в съзвездието Близнаци. Нека не забравяме, обаче, че сме в координатна система, която се върти около Слънцето заедно с Юпитер. За 13.3 години Юпитер ще направи една пълна обиколка по орбитата си и още малко над 1/12 част от нея. Това означава, че Сатурн ще бъде в следващото след Близнаци зодиакално съзвездие, т.е. в Рак.

Критерии за оценяване (общо 14 т.):

За правилно определяне на порвоначалната конфигурация на Сатурн – 2 т.

За обяснение и правилен отговор как ще се изменя времето на залез по-нататък – 2 т.

За посочване на конфигурацията, при която Сатурн ще изгрява в полунощ – 1 т.

За правилен математически метод за определяне на времето за достигане до тази конфигурация – 4 т.

За правилен числен отговор – 1 т.

За правилен метод за определяне на съзвездието, в което ще бъде Сатурн – 3 т.

За вярно посочване на съзвездието – 1 т.