НОА 2013, III кръг (национален), 9–10 клас — Практическа задача. Двойната звезда SDSS J013851.54-001621.6

• • Период $p = 1^h 45^m$; радиуси на орбитите $R_1 = 350400$ km (червено джудже) и $R_2 = 86350$ km (бяло джудже); отношение на масите $M_2/M_1 = R_1/R_2 = 4.06$; обща маса $M_1 + M_2 = 1.21 \cdot 10^{30}$ kg $= 0.61\,M_\odot$, а за отделните маси авторското решение дава $M_1 = 0.49\,M_\odot$ и $M_2 = 0.12\,M_\odot$.

  Отпечатаните стойности на отделните маси са несъвместими с отношението $M_2/M_1 = 4.06$ – при него решението на системата е $M_1 \approx 0.12\,M_\odot$ (червеното джудже) и $M_2 \approx 0.49\,M_\odot$ (бялото джудже), т.е. в оригинала двете стойности изглеждат разменени. Тук са предадени дословно, както са отпечатани.

• • A – двете звезди са една до друга в картинната плоскост, като червеното джудже е обърнато с най-голямото си сечение към наблюдателя (издължено), а бялото джудже се вижда отделно от него; B – бялото джудже е пред червеното (главен минимум на кривата не настъпва, вижда се кръгло червено джудже с бялото върху него); C – огледално на A, бялото джудже е от другата страна; D – бялото джудже е скрито зад червеното, което се вижда кръгло.

• • $\frac{a}{b} = \frac{E_{RMax}}{E_{RMin}} = 1.384 \approx 1.38$

• • $T_W = T_R\left(\frac{E_W}{E_R} \cdot \frac{R_R^2}{R_W^2}\right)^{1/4} = 7800\ \text{K}$

Понеже бялото джудже е по-масивна звезда от червеното джудже, то червеното джудже има по-голяма амплитуда на лъчевите скорости и следователно кривата с черните точки е негова, докато кривата на лъчевите скорости на бялото джудже е построена с незапълнени кръгчета.

Когато двете компоненти на една двойна звезда се движат перпендикулярно на лъча на зрение, тяхната лъчева скорост е равна на лъчевата скорост на центъра на масите на системата. Тъй като двете звезди и центъра на масите лежат на една права линия, това се случва едновременно за двете звезди. Следователно точките 1, 3 и 5, в които се пресичат кривите на лъчевите скорости, са тези моменти от време, в които звездите се движат в картинната плоскост и притежават лъчеви скорости, равни на лъчевата скорост на центъра на масите, т.е. лъчевата скорост на двойната звезда относно Слънцето (При наблюдение на лъчеви скорости всички стойности се привеждат към центъра на Слънцето, за да се премахне влиянието на орбиталното движение на Земята). Виждаме, че тази скорост е 100 km/s и тя се превръща за нас в нул-пункт, т.е. в стойност, от която ще отчитаме лъчевите скорости на всяка една от компонентите на звездата относно система свързана с центъра на масите на звездата. При измерване използваме разграфяването на осите като мащабни линии. Виждаме, че в точка 2 лъчевата скорост, относно центъра на масите, е равна на 330 km/s, а в точка 4 – на 360 km/s. Средната стойност е $V_{1R} = 345$ km/s. Аналогично за бялото джудже намираме средната лъчева скорост – $V_{2R} = 85$ km/s. За определяне на периода на системата използваме добре определените моменти в точки 1 и 5. Може да се използват и точки 2 и 4, като се има предвид, че времето между тях е равно на половината от периода на системата. За периода получаваме приблизително: $p = 1^h 45^m$.

За всяка една от компонентите може да напишем система от две уравнения:

Решаваме системата относно радиуса на орбитата:

За всяка от компонентите получаваме радиуса на орбитата:

За червеното джудже – $R_1 = 350400$ km.

За бялото джудже – $R_2 = 86350$ km.

Отношението на масите на компонентите в една двойна звезда е обратнопропорционално на разстоянието до центъра на масите. Следователно:

Виждаме, че бялото джудже е 4 пъти по-масивно от червеното джудже.

За определяне на масите на компонентите ще използваме третия закон на Кеплер. При двойни звезди този закон се пише за относителната орбита. Тя има голяма полуос равна на сумата от големите полуоси на двете компоненти. Периодът на системата е същият. Масата на основното тяло се приема за сума от масите на двете компоненти, а на другата звезда – за пренебрежимо малка.

където: $R = R_1 + R_2$.

За общата маса на системата получаваме:

От уравнения (1) и (2) съставяме система от две уравнения с неизвестни $M_1$ и $M_2$.

Решаваме системата и получаваме: $M_1 = 0.49 \ M_\odot$; $M_2 = 0.12 \ M_\odot$.

Схеми на разположението на компонентите в четирите характерни момента от кривата на блясъка са показани под кривата на блясъка на Фиг.2. В момента означен с буква D бялото джудже е скрито зад червената звезда.

Намираме стойностите на осветеностите в характерните моменти на кривата на блясъка. Стойностите имат следния смисъл:

1 – осветеност в максимума на блясъка, когато се вижда бялото джудже и максимална площ от червеното джудже. Тогава $E_1 = E_{R\,Max} + E_W = 0.4$

2 – осветеност от бялото джудже, което се вижда много близо до червеното и предстои да бъде засенчено от него. Червеното джудже изглежда кръгло, с радиус, равен на малката полуос на елипсата. Тази страна е малко по-гореща от другата поради което осветеността е малко по голяма, отколкото от страната обърната към бялото джудже. Ще използваме тази осветеност само при определяне на осветеността от бялото джудже. Тогава $E_2 = E_{R\,Min1} + E_W = 0.328$.

3 – осветеност от бялото джудже и от минималната фаза на червеното джудже, но от страната с която е обърнато към бялото джудже. Оказва се, че в този случай червеното джудже е малко по-слабо. Тогава $E_3 = E_{R\,Min2} + E_W = 0.3$. Тази стойност се използва при пресмятането на средната осветеност в минимума на червеното джудже.

4 – средна осветеност от 2 и 3, която използваме като стойност на минимума на червеното джудже при определяне на отношението на осите му. Тогава $E_4 = E_{R\,Min} + E_W = 0.314$.

5 – осветеност само от червеното джудже в минимална фаза, като бялото джудже се намира зад него и не дава принос към светимостта на системата. Тогава $E_5 = E_{R\,Min1} = 0.238$.

Оттук следва, че приносът на бялото джудже към осветеността от системата е:

Осветеността само от червеното джудже в максимум е:

Осветеността само от червеното джудже в среден минимум е:

За да определим отношението на осите на елипсоида на червеното джудже ще използваме разликата в осветеностите от червеното джудже в случаите когато то е ориентирано с най-голямото сечение към нас и с най-малкото сечение към нас. В първия случай площта на сечението е равна на площта на елипсата $S_1 = \pi ab$, а във втория – на площта на кръглото сечение на елипсоида $S_2 = \pi b^2$. Отношението на двете площи е равно на отношението на двете полуоси и на осветеностите в двата случая.

За определяне на температурата на бялото джудже ще използваме закона на Стефан – Болцман:

където $S$ е площта на излъчващото тяло, а $L$ е неговата светимост.

В условието на задачата ни е даден средният радиус на червеното джудже. Затова намираме средната осветеност от него, която приблизително съответства на среден радиус.

Осветеността от бялото джудже е :

От закона на Стефан – Болцман следва:

В действителност тази стойност се различава от истинската, защото осветеностите които използваме не са болометрични, а са получени в тесен спектрален диапазон във видимата част на спектъра. Затова, за да се получат по-достоверни стойности, на базата на наблюдателните данни за няколоко спектрални диапазона, се строят модели на наблюдаваните звезди и по построените модели се пресмятат физическите параметри на звездите, които не могат да бъдат измерени директно.

Критерии за оценяване (общо 16 т.):

За правилно определяне на периода на системата – 2т.

За правилно определяне на радиусите – 2т.

За правилно определяне на отношението на масите, както и масите на двете компоненти – 3т.

За правилна схема на разположението на компонентите в характерните моменти от кривата на блясъка на звездата – 2т.

За правилен подход при работа с осветеностите в различни фази и при определянето на отношението на голямата към малката полуос на елипсоида на червеното джудже – 4т.

За правилен подход при определяне на температурата на бялото джудже – 2т.

За правилен числен отговор – 1т.