НОА 2014, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 5. Размерите на Луната

• $R_L = \frac{s \cdot T_L}{2\pi \cdot \Delta t}$

• • $R_L = \frac{s \cdot T_L}{2\pi \cdot \Delta t}$

  Двама наблюдатели, разположени по дъга с дължина $s$ по лунния екватор, засичат залеза на една и съща звезда близо до лунния небесен екватор; $\Delta t$ е разликата в моментите, а $T_L$ е периодът на околоосното въртене, измерен като интервал между два последователни залеза на звездата. При $s = 100$ м се получава $\Delta t \approx 21{.}6$ s. Часовникът с махало на Луната върви $T_L = T\sqrt{g/g_L} = 2.449490\,T$, тоест около 2.45 пъти по-бавно.

Щом ще наблюдаваме през нощта, най-добре е да изберем звездите като обект на наблюдение. Наблюдавайки звездите през дълъг интервал от време, може да намерим периода на околоосно въртене на Луната. Наблюдението на една звезда, без да разполагаме с допълнителни инструменти, може да се осъществи по следния начин. Избираме звезда, разположена максимално близо до небесния екватор (небесния екватор за Луната). Изчакваме тя да доближи западния хоризонт и засичаме момента на залеза на звездата. Това е възможно, понеже на Луната няма атмосфера и звездите се виждат ясно на хоризонта (особено през нощта, когато не ни пречи отразената от повърхността на Луната слънчева светлина). Изчакваме докато Луната направи един оборот около оста си и звездата отново застане над западния хоризонт. Тогава, от същата точка на лунната повърхност, от която сме засекли първия залез на звездата, засичаме втория залез. Времето между двата залеза е периодът на завъртане на Луната около оста й или едно сидерично (звездно) лунно денонощие.

Изборът на звездата и определянето на точното направление на лунния екватор може да се извършат в процеса на наблюдението на звездите.

След като разполагаме с периода на завъртане на Луната около оста й, можем да продължим с решаването на задачата, но вече са ни необходими двама наблюдатели. Измерваме точно, използвайки въжето и дървения метър, по повърхността на Луната отсечка от няколко десетки или няколкостотин метра, разположена по протежение на екватора на Луната. Крайщата на отсечката са точките, в които ще застанат двамата наблюдатели. Нека първият наблюдател, който стои в източната точка на отсечката, вижда звездата близо до лунния небесен екватор да залязва. Отбелязва се моментът на залеза $t_1$.

Вторият наблюдател, който стои в западната точка на отсечката, ще види залеза на звездата с няколко десетки секунди по-късно. Това е така, понеже Луната се върти бавно и на сравнително близки разстояния явленията изгрев и залез на едни и същи обекти стават в съществено различаващи се моменти от време. Нека, примерно, наблюдателите са на 100 м разстояние. За едно завъртане около лунната ос точка от екватора на Луната описва пълната дължина на екватора. За да измине 100 м, заедно с повърхността на Луната, и да достигне положението на първия наблюдател, така че да вижда залеза на звездата, на втория наблюдател ще е необходим интервал от време $\Delta t$, който се отнася към периода на завъртане на Луната около оста й както разстоянието между двамата наблюдатели към дължината на екватора на Луната.

За да се завърти на 100 м, на точка от екватора на Луната са необходими повече от $21^{s}$. Това означава, че ако работим с часовника с точност 1 s, ще имаме грешка от 5% в определянето на радиуса на Луната. Ако искаме по-голяма точност, ще се наложи да увеличим разстоянието между наблюдателите.

Моментът на залеза на звездата за втория наблюдател отбелязваме с $t_2$. Разстоянието между двамата наблюдатели е измерено с въже. Понеже в задачата се говори за равнинна местност, се подразбира, че става дума за равнина, следваща строго сферична форма, с център – в центъра на Луната. Тогава разстоянието между наблюдателите е дъга с дължина $s$, която е част от лунния екватор. Отношението на дъгата към обиколката на екватора е равно на отношението на интервала време между залезите на звездата за двамата наблюдатели към периода на завъртане на Луната около оста й.

Нека $\Delta t = t_1 - t_2$. Тогава:

където $R_L$ и $T_L$ са радиусът и периодът на околоосно въртене на Луната.

Ако сме имали неблагоразумието да настройваме часовника с махало на Земята, ще се наложи да посмятаме допълнително. Понеже не знаем как е разпределена масата в махалото на часовника, ще трябва да приемем, че то може да се разглежда като математическо махало. Периодът на математическото махало зависи от ускорението на силата на тежестта и се описва с формулата:

където $T_L$ е периодът на махалото, $l$ е дължината му, а $g_L$ е ускорението на силата на тежестта на Луната. Записваме същата формула и за Земята, където часовникът е настроен така, че секундната му стрелка отброява интервали от по една секунда.

където $T$ и $g$ са периодът на махалото и ускорението на силата на тежестта на Земята. Разделяме двете равенства и получаваме за периода на махалото на повъхността на Луната:

Знаем, че отношението на ускоренията на силата на тежестта на Земята и Луната е равно на 6. Тогава за периода на махалото на Луната получаваме:

Темпът на хода на един часовник с махало се командва от периода на махалото. Следователно на Луната часовникът ще върви приблизително 2.45 пъти по-бавно отколкото на Земята. Това трябва да се има предвид. Освен това, ако точността на часовника е свързана с механичната точност на изработване на детайлите, то и тя ще намалее със същия коефициент. Затова ще се наложи да измерим по-голямо разстояние на Лунната повърхност (около 2.45 пъти по-голямо), за да не загубим точност в определянето на радиуса на Луната.

Критерии за оценяване (общо 14 т.):

• За подходяща постановка на метода за определяне на лунния радиус – 3 т.
• За описание на необходимите наблюдения и измервания – 3 т.
• За обосновка на точността на метода – 1 т.
• За математическо описание на метода – 3 т.
• За отчитане на различния период на махалото на Луната и влошаването на точността на часовника – 4 т.