НОА 2014, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 4. Трите планети

• $\Delta E > 2E_p \;\Rightarrow\; E < E_0$

• • $\Delta E = E_0\frac{R_p^{2}}{R_0^{2}} > 2E_p = E_0\frac{R_p^{2}}{r_p^{2}}$

  Тъй като $R_0 \ll r_p$, следва $\Delta E > 2E_p$, тоест $E < E_0$.

При преминаването на първата планета пред звездата, планетата е в най-близката до земния наблюдател част от орбитата си, а другите две планети са някъде в най-отдалечените от нас части от своите орбити около звездата. Видимото разположение на трите планети спрямо звездата за земния наблюдател е примерно такова, кавото е представено на фигурата вдясно. Планета 1 е обърната към нас с тъмната си страна.

Другите две планети са практически изцяло обърнати към нас с осветените си от звездата страни. Да означим с $E_0$ осветеността, която създава за нас звездата, когато няма преминаване на планета пред нея:

където $L$ е светимостта на звездата, а $r$ е разстоянието от нас до нея. При преминаване на планетата пред звездата, част от видимия диск на звездата се закрива. Да означим с $R_0$ и $R_p$ радиусите на звездата и на планетата. Разглеждаме звездата като диск с площ $S_0 = \pi R_0^{2}$, който бива закрит от диска на планетата с площ $S_p = \pi R_p^{2}$. Тогава звездата ще създава за земния наблюдател осветеност:

Чрез последното уравнение ситуацията може да се представи още по-нагледно, ако го запишем по следния начин:

където $\Delta E = E_0 \cdot \dfrac{R_p^{2}}{R_0^{2}}$ е частта от светлинния поток, идващ от зведата, която се губи поради преминаването на планетата пред нея.

Осветеността, която звездата създава върху всяка от другите две планети, ще бъде равна на $\dfrac{L}{4\pi r_p^{2}}$, където $r_p$ е разстоянието от звездата до планетите. Тези планети също разглеждаме като дискове и приемаме, че общата енергия, която попада върху всяка от тях от звездата, е равна на $\dfrac{L}{4\pi r_p^{2}} \cdot S_p$. Светлинния поток, създаван от една от тези планети за земния наблюдател, можем приблизително да изразим по следния начин:

Тук в знаменателя пишем коефициент 2 вместо 4, понеже считаме, че осветеният диск на планетата разсейва отразената от звездата светлина в половината пространство към нас, но не и в обратна посока. Считаме също, че двете планети също са отдалечени от нас на разстояние, приблизително равно на $r$, понеже $r_p \ll r$. Освен това приемаме, че отражателната способност (албедото) на планетите е 100%. Преобразувайки последния израз, получаваме:

В крайна сметка по време на преминаването на планета 1 пред звездата, общият светлинен поток, който достига до земния наблюдател от самата частично закрита звезда плюс другите две планети, ще бъде:

Сега остава да разберем коя от двете величини е по-голяма – намаляването на осветеността от звездата $\Delta E$, дължащо се на преминаващата пред нея планета, или приноса $2E_p$ на двете други планети. Сравняваме двете величини:

По условие звездата е подобна на Слънцето, следователно тя има радиус $R_0$, равен на около един слънчев радиус. А орбитите на планетите имат близки радиуси $r_p$, подобни на радиуса на орбитата на Меркурий. Числените данни в условието ни убеждават, че $R_0 \ll r_p$. Следователно:

Светлината, идваща от двете планети, не може да компенсира загубата на светлинен поток от звездата, причинена от преминаващата пред нея планета.

До същия извод можем да достигнем дори и без много пресмятаня. Планетите обикалят около звездата по орбити с радиуси, които са значително по-големи от радиуса на звездата. Следователно общата светлинна енергия, която достига до всяка от планетите, е доста малка част от цялата звездна светлина, преминала през сфера с център звездата и радиус – радиуса на орбитите. Тази енергия очевидно е значително по-малка от енергията, която се излъчва от част от повърхността на звездата, закрита от една от планетите.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

• За правилна теоретична постановка на решението – 4 т.
• За подходящи и правилни алгебрични пресмятания – 7 т.
• За верен краен извод – 1 т.

Ако участникът е дал само правилни разсъждения и извод, подобни на последния пасаж от решението, но без пресмятания, вместо точките, които са посочени по-горе, да му се дават 4 точки.