НОА 2014, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 3. Земя и Луна

• • Луната е била по-близо до космическия апарат, отколкото Земята.

  От измерените диаметри $d_T/d_L \approx 3.52$, докато линейното отношение е $D_T/D_L \approx 3.67$, тоест $d_T/d_L < D_T/D_L$.

• • $r_T = \frac{r_{TL}}{1 - \dfrac{d_T}{d_L}\cdot\dfrac{D_L}{D_T}} \approx 10\ \text{млн км}$

  В критериите изрично е отбелязано, че при малки разлики в измерените диаметри на изображенията (различно качество на отпечатването) могат да се получат много големи разлики в крайния резултат.

• • 3 седмици

  Луната е била около фаза последна четвърт, тоест пълнолуние около три седмици по-късно; проверката по действителните данни показва пълнолуние на 8 януари 1993 г.

Измерваме върху снимката диаметрите на изображенията на Луната и Земята и получаваме съответно: $d_L = 23$ mm, $d_T = 81$ mm. Тези диаметри са пропорционални на видимите ъглови диаметри $\delta_L$ и $\delta_T$ на двата обекта за наблюдател от станцията „Галилео”. Ако Земята и Луната са на едно и също разстояние от станцията, би трябвало отношението на видимите им ъглови диаметри да е равно на отношението на линейните им диаметри, които нека означим с $D_L$ и $D_T$. Пресмятанията показват обаче, че това не е така.

Отношението на ъгловия размер на Земята към този на Луната е по-малко отколкото отношението на линейния размер на Земята към този на Луната. Следователно Луната е по-близо до космическия апарат, отколкото Земята.

Двете тела са на доста малко видимо ъглово разстояние едно от друго – то е сравнимо с видимите им ъглови размери. А линейното разстояние от Земята до Луната е около 60 пъти по-голямо от радиуса на нашата планета. Следователно можем да приемем, че ако $r_L$ е линейното разстояние от станцията „Галилео” до Луната, а $r_T$ е разстоянието от станцията до Земята, то:

където $r_{TL}$ е разстоянието Земя – Луна. За видимите ъглови диаметри на Земята и Луната можем да напишем:

Оттук получаваме:

Приемаме, че отгоре на снимката е северното полукълбо на Земята. Всъщност за това можем и да се досетим. Станцията „Галилео”, чиято цел е изследването на планетата Юпитер, първоначално кръжи по сложна орбита около Слънцето, сближавайки се последователно с Венера и Земята, за да се ускори в техните гравитационни полета. Снимката е направена малко след едно такова сближаване със Земята. В този момент станцията трябва да е летяла приблизително по посока на орбиталното движение на Земята около Слънцето, отдалечавайки се от Земята. Щом при това положение слънчевите лъчи идват отдясно на снимката, то можем да заключим, че северното полукълбо на нашата планета е отгоре. Това съображение не се изисква от учениците в решението на задачата и ако то е приведено, следва да се дават допълнителни точки за награда. Фазите на Земята и Луната, които се виждат на снимката, показват, че Слънцето се намира на около $90^\circ$ надясно от двете тела за наблюдател на космическата станция. Както вече отбелязахме, двете тела са почти на една линия със станцията. Гледано от северното полукълбо, Луната се движи около Земята в посока обратна на часовниковата стрелка. От всичко това можем да заключим, че в момента на снимката за земните наблюдатели Луната е била около фаза последна четвърт. Така че, Луната трябва да е била в пълнолуние около три седмици след момента на снимката. Проверката по действителните данни показва, че Луната е била в пълнолуние на 8 януари 1993 г.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

• За правилен подход при определяне дали Земята или Луната е по-близо до станцията – 2 т.
• За измервания и пресмятания – 2 т.
• За правилно заключение кое от двете тела е по-близо – 1 т.
• За правилен метод за определяне на разстоянието до Земята – 3 т.
• За достоверен числен резултат за разстоянието (при малки разлики в измерените диаметри на изображенията в резултат от различно качество на отпечатването на картинката, могат да се получат много големи разлики в крайния резултат) – 1 т.
• За правилни разсъждения относно фазата на Луната – 2 т.
• За вярно заключение за фазата – 1 т.