НОА 2014, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 1. Звезда изгрява

• • Първата звезда се издига до $h = 90^\circ - \varphi = 46^\circ 47'$ и кулминира в посока юг относно зенита; втората – до $h = 2\varphi = 86^\circ 26'$, тоест на $3^\circ 34'$ северно от зенита.

  Първата звезда лежи на небесния екватор, а деклинацията на втората е $\delta = 90^\circ - \varphi = 46^\circ 47'$.

• • Да – за всички точки от паралела на град Варна ($\varphi = 43^\circ 13'$), а също и за точките от паралела $\varphi = -43^\circ 13'$.

  За южния паралел звездата в горна кулминация за миг се показва над хоризонта в точка север и веднага залязва пак там.

• • Първата звезда изгрява с азимут $90^\circ$ (точно от изток) и кулминира в зенита, така че посока относно зенита не може да се дефинира; втората изгрява с азимут $43^\circ 13'$ и кулминира на височина $43^\circ 13'$ в посока север.

  Стойностите са за геодезичен азимут; при астрономически азимут се получават $270^\circ$ и $223^\circ 13'$.

Това, че първата звездата изгрява точно от посоката изток означава, че тя лежи на небесния екватор. Небесният екватор се намира на $90^\circ$ от Северния небесен полюс. Височината на полюса над хоризонта е равна на географската ширина. Следователно най-високата точка от небесния екватор се намира на височина:

Това е височината, на която ще се издигне първата звезда над хоризонта при своето денонощно движение. Тя ще се наблюдава в посока юг, относно зенита.

Втората звезда изгрява от посоката север, което означава, че тя през цялото денонощие е над хоризонта, само за един миг се скрива под хоризонта и веднага се показва над него. Това е възможно, ако звездата се намира на ъглово разстояние от Северния небесен полюс, равно на географската ширина плюс една много малка величина, която да позволи на звездата да се скрие под хоризонта за части от секундата. Бихме могли да приемем, че този ъгъл е равен на географската ширина на мястото. Следователно деклинацията на звездата е:

В горна кулминация втората звезда ще бъде на височина над хоризонта, равна на удвоената височина на Северния небесен полюс и следователно височината й ще е равна на удвоената географска ширина на мястото:

Тази точка се намира там, където денонощният паралел на звездата пресича меридиана на мястото, на $3^\circ\,34'$ северно от зенита.

Втората звезда може за изгрява от север за всяка точка от земното кълбо, която има същата географска ширина като град Варна, т.е. лежаща на същия паралел.

Съществува, обаче, още едно множество от точки, които отговарят на това условие. Това са точките, лежащи на паралел с географска ширина $\varphi = -43^\circ\,13'$. За тях бихме могли да кажем, че звездата в горна кулминация за миг се показва над хоризонта в точка север и веднага залязва пак там.

За наблюдател на земния екватор звездата, лежаща на небесния екватор, ще изгрява отново от точка изток, т.е. ще има азимут $90^\circ$, ще се издига вертикално нагоре, ще кулминира в зенита, през който минава небесният екватор, и следователно не може да се дефинира посока относно зенита, понеже звездата ще съвпада с него.

Втората звезда, която отстои от Северния небесен полюс на ъгъл равен на $43^\circ 13'$, ще изгрява от азимут равен на този ъгъл, ще се издига на височина, равна на този ъгъл и ще се наблюдава в горна кулминация в посока север.

В решението на задачата се използва геодезичният азимут. Възможно е решение, при което се използва астрономическият азимут и тогава ще се получат различни числени стойности ( $270^\circ$ и $223^\circ 13'$ ).

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

• За правилен начин на определяне на височината на двете звезди в горна кулминация - $2\times 2 = 4$ т.
• За определяне на посоките, в които ще кулминират звездите - $2\times 0.5 = 1$ т.
• За отговор къде другаде втората звезда ще изгрява от север за наблюдател в северното полукълбо – 2 т.
• За досещане за допълнителната възможност това да се наблюдава и от южното полукълбо – 1 т.
• За определяне на азимутите на двете звезди при изгрев за наблюдател на екватора – $2 \times 1$ т. = 2 т.
• За определяне на височините и посоките при горна кулминация – $2 \times 1$ т. = 2 т.