НОА 2014, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 2. Космически рекорди

• • $n = n_0 - n_1 = \frac{\Delta t}{p} - \frac{\Delta t}{365^{d}.25} \approx 10632.66$

  Толкова изгреви и толкова залези би могъл да види – общата продължителност на двата полета е $\Delta t = 678^{d}\,16^{h}\,32^{m} = 678^{d}.689$.

• • $n_y = \frac{n}{365^{d}.25} \approx 29.11$

  За малко повече от 29 години.

• • $n_T = \frac{\Delta t}{p_T} \approx 9908, \qquad p_T = \frac{T^{d}_{sid} \cdot p}{T^{d}_{sid} - p} \approx 98^{m}.6$

  Използва се звездното денонощие $T^{d}_{sid} = 23^{h}56^{m}04^{s}$, а не слънчевото.

Пресмятаме общата продължителност на двата полета и получаваме, че тя е $\Delta t = 678^{d}\,16^{h}\,32^{m}$. Ако разделим този интервал от време на орбиталния период на станцията, ще получим броя обиколки на космонавта около Земята. Но за толкова продължителен интервал от време Земята е направила почти две обиколки около Слънцето. При всяка обиколка на Земята около Слънцето осветената страна на Земята се завърта около ос, перпендикулярна на еклиптиката, един път, по посока на околоосното въртене на Земята. Периодът на космическата станция е независим от въртенето на Земята около остта й, както и от въртенето на Земята около Слънцето. Затова за всяка година полет трябва да извадим една обиколка, за да получим броя на обиколките относно терминатора, т.е. броя на “космическите денонощия”.

За да получим броя на обиколките на станцията около Земята, изразяваме интервалите от време и периодите в денонощия:

Броят на обиколките около Земята е:

Броят на завъртанията на терминатора (или на линията Земя-Слънце) за този интервал от време е:

Броят на обиколките на станцията относно терминатора е:

Това е и броят “космическите денонощия”, които е преживял Валерий Поляков, докато е бил в орбита около Земята. Толкова изгреви и залези би могъл да види той.

Този резултат може да получим и като използваме формулите за синодичен и сидеричен период. (При прилагането на тези формули всички величини в тях трябва да са в еднакви мерни единици.) Стойността на периода на станцията е сидеричният период $T_0 = p$, а продължителността на космическото денонощие е синодичният период $T_s$. Нека продължителността на годината означим с $T$. Тогава:

За да получим за колко години човек, намиращ се на Земята, би могъл да види същия брой изгреви и залези, трябва да разделим броя на денонощията (в случая броя на космическите денонощия) на броя на денонощията в една земна година:

За малко повече от 29 години, човек би могъл да види същия брой изгреви и залези, наблюдавайки от Земята.

Преминаването на станцията над дадена точка от земната повърхност зависи както от периода на станцията, така и от периода на въртене на Земята около оста й. Периодът на въртене на Земята около оста й се нарича звездно денонощие. То е равно на $23^{h}56^{m}04^{s}$. Ако не знаем неговата продължителност, може да я намерим, използвайки формулите за синодичен и сидеричен период, или това, че в годината броят на синодичните денонощия е с едно по-малък от броя на сидеричните. Можем да напишем:

Това е продължителността на звездното денонощие в единици слънчеви денонощия. Като умножим с този коефициент продължителността на едно слънчево денонощие в часове, минути и секунди, ще получим продължителността на звездното денонощие в същите единици: $24^{h} \times 0.934471 = 23^{h}56^{m}04^{s}$.

От формулите за синодичен и сидеричен период получаваме същата стойност. Звездното денонощие е равно на сидеричния период на Земята ($T^{d}_{sid}$), слънчевото – на синодичния ($T^{d}_{syn}$).

Земята и станцията се въртят в една посока. Прилагаме отново формулите:

където $p_T$ е периодът на станцията относто земната повърхност и играе ролята на синодичен период, $p$ е истинският орбитален периодът на станцията и играе ролята на сидеричен период, а $T^{d}_{sid}$ е периодът на въртене на Земята около оста й. Виждаме, че периодът на станцията относно земната повърхност е съществено по-голям от сидеричния й период.

Броят на обиколките относно точка от повърхността на Земята, ще бъде:

Толкова пъти Валерий Поляков е прелетял над Атлантическия океан.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

• За правилен метод за определяне колко броя космически денонощия е преживял космонавтът – 2 т.
• За отчитане на ефекта от въртенето на Земята около Слънцето – 2 т.
• За верен числен отговор – 1 т.
• За определяне за колко години на земната повърхност биха се видели същия брой изгреви и залези на Слънцето – 2 т.
• За правилен подход при определяне колко пъти космонавтът е прелетял над Атлантическия океан – 3 т.
• За правилния избор да се използва звездното (а не например слънчевото) денонощие – 1 т.
• За верен числен отговор – 1 т.