Съдържание

НОА 2014, III кръг (национален), 11–12 клас — Практическа задача. Планета около жълтобяло слънце

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2014

XVII Национална олимпиада по астрономия 2014, национален кръг, тема за възрастова група XI-XII клас · 26 април 2014 г. · 20 т.

Условие

Звездата HAT-P-7 е от спектрален клас F8 и има маса 1.47 слънчеви маси. По наблюдения, получени с космическия телескоп „Кеплер”, е установено, че около звездата обикаля планета гигант с радиус 1.36 пъти по-голям от радиуса на Юпитер. Планетната орбита е кръгова и зрителният лъч от земния наблюдател почти точно лежи в нейната равнина. Дадена ви е крива на блясъка на звездата. Главните минимуми в нея отразяват преминаванията на планетата по диска на звездата. Интересното в случая е, че има и вторични минимуми, съответстващи на закриването на планетата от звездата. В горната част (A) на диаграмата е дадена графика на изменение на блясъка на звездата. В долната част (B) е представена същата графика, но с увеличен вертикален мащаб. По абсцисата е нанесено времето в дни. По ординатата е нанесен потокът светлина (не звездна величина) в относителни единици.

• Като използвате диаграмата, определете радиуса на звездата. Радиусът на Юпитер е 70 000 км. [5 т.]

• Обяснете защо, както се вижда на диаграмата, преди вторичния минимум има нарастване на блясъка на системата звезда-планета, а след него – намаляване. [3 т.]

• Определете отражателната способност на планетата. [12 т.]

Две панели с фотометрична крива: горе главните транзитни минимуми до 0.9932 отн. поток, долу увеличен мащаб с плитък вторичен минимум и фазова модулация; по абсцисата орбитална фаза в дни от -0.8 до 2.4.

Отговори

Решение

Когато планетата минава пред диска на звездата, тя закрива част от нея и блясъкът на звездата леко намалява. Да означим с $E_S$ осветеността, която звездата създава за земния наблюдател, когато не е закрита от планетата, а с $E_{S1}$ – осветеността, създавана от зведата, когато е закрита от планетата – по време на главен минимум на блясъка. От горната графика чрез определяне на мащаба на скалата определяме:

$E_S \approx 1$ относителна единица светлинен поток $E_{S1} \approx 0.9932$ отн.ед.

Тези величини се отнасят приблизително както светещите площи на видимия звезден диск извън пасажа на планетата и по време на пасажа на планетата:

\frac{E_S}{E_{S1}} = \frac{\pi R_S^2}{\pi R_S^2 - \pi R_P^2} = \frac{R_S^2}{R_S^2 - R_P^2}

където $R_S$ и $R_P$ са радиусите на звездата и на планетата. За радиуса на звездата получаваме:

R_з = R_р \cdot \sqrt{\frac{E_S}{E_S - E_{S1}}} \approx 12.13\, R_р

R_S \approx 1.154 \times 10^6\ \text{км}

Краят на преминаването на планетата по диска на звездата означава и край на главния минимум на кривата на блясъка. След този момент ние виждаме изцяло звездата и заедно с нея – планетата. Планетата е осветена от звездата и отразява част от тази светлина. При движението на планетата по нейната орбита около звездата, тя би трябвало да показва за нас различни фази, които все повече се доближават до пълната фаза. Ето защо общият блясък на системата звезда – планета трябва леко да нараства и това се вижда по кривата на блясъка с увеличения вертикален мащаб, представена на долната диаграма B. После планетата навлиза зад видимия диск на звездата и настъпва вторичния минимум. Спадането на блясъка след вторичния минимум се обяснява аналогично с изменящата се фаза на планетата, но в обратен ред.

Малко преди началото на вторичния минимум до нас идва светлина от целия незакрит видим диск на звездата и от незакрития диск на планетата, която е почти в пълна фаза – почти изцяло обърната към нас с осветената си страна. Тогава, осветеността, която се създава ва земния наблюдател, ще бъде:

E_{S+P} = E_S + E_P\,,

където $E_P$ е осветеността, идваща от огрятата страна на планетата. По време на вторичния минимум планетата е закрита и получаваме светлина само от звездата. Тогава осветеността е $E_S$ , също както и в моментите малко преди началото и малко след края на главния минимум. На диаграмата B кривата е прекарана доста неточно и има разлика между тези две нива, но ако се вгледаме в експерименталните точки ще видим, че при по-правлно прекарване на кривата няма да има разлика. Това налага лека корекция в стойността на $E_S$ , която ще използваме оттук нататък: $E_S \approx 0.99998$ отн.ед. По диаграмата измерваме увеличаването на блясъка в моментите малко преди и след вторичния минимум и получаваме: $E_{S+P} \approx 1.00009$ отн.ед.

Трябва да пресметнем осветеността, която звездата създава върху планетата. За целта е необходимо да знаем какво е разстоянието между двете тела. Видът на графиката свидетелства, че орбитата на планетата е кръгова. По скалата за времето на горната графика A измерваме интервала между двата главни минимума и така определяме орбиталния период на планетата:

T \approx 2.11\ \text{денонощия} \approx 0.00577\ \text{години}

Превръщаме периода в години, за да работим с удобната форма на III закон на Кеплер:

\frac{r^3}{T^2} = M

където $r$ радиусът на планетната орбита в астрономически единици, $T$ е орбиталният период в години, а $M$ е масата на звездата в слънчеви маси. Оттук получаваме:

r = \sqrt[3]{M T^2}

r \approx 0.0365\ \text{AU} \approx 5.47 \times 10^6\ \text{км}

Осветеността, която звездата създава върху планетата, ще бъде:

E_{SP} = \frac{L}{4\pi r^2}

където $L$ е светимостта на звездата. Общата светлинна енергия, попадаща върху планетата, ще бъде:

W = E_{SP} \cdot \pi R_P^2

Осветеността, създавана от планетата за земния наблюдател, ще бъде:

E_P = \frac{A W}{2\pi r_0^2}

където $A$ е частта от светлината, отразявана от планетата, или нейната отражателна способност, а $r_0$ е разстоянието от нас до планетата (или все едно до звездата). В знаменателя коефициентът е 2, а не 4, защото приемаме планетата за диск, който отразява и разсейва светлина само в половината пространство с огрятата си от звездата страна. Използвайки последните три уравнения, получаваме:

E_P = A \cdot \frac{L}{4\pi r^2} \cdot \pi R_P^2 \cdot \frac{1}{2\pi r_0^2}

Ние не знаем светимостта на звездата и разстоянието до нея, но можем да преобразуваме този израз така:

E_P = A \cdot \frac{R_P^2}{2 r^2} \cdot \frac{L}{4\pi r_0^2}

Всъщност обаче:

\frac{L}{4\pi r_0^2} = E_S

Така получаваме:

E_P = A \cdot \frac{R_P^2}{2 r^2} \cdot E_S

По-нататък пресмятаме:

\frac{E_{S+P}}{E_S} = \frac{E_S + E_P}{E_S} = 1 + \frac{E_P}{E_S}

\frac{E_{S+P}}{E_S} = 1 + A \cdot \frac{R_P^2}{2 r^2}

Накрая за отражателната способност на планетата намираме:

A = \frac{2 r^2}{R_P^2} \cdot \left(\frac{E_{S+P}}{E_S} - 1\right)

A \approx 0.7

Според нашата оценка планетата отразява около 70% от светлината на звездата. Поради невъзможността да се направят точни измервания по графиките, оценките могат занчително да варират в различните решения.

В действителност голяма част от блясъка на планетата се дължи не на отражение на светлината. Планетата поглъща лъчението на звездата, нагрява се от него до много висока температура и преизлъчва погълнатата енергия. Реалната отражателна способност на планетата е много по-малка.

Критерии за оценяване (общо 20 т.):

За правилен математически метод за определяне на радиуса на звездата – 2 т.
За измервания и определяне на величини по графиката – 1 т.
За пресмятания и верен числен резултат – 2 т.
За обяснение на вида на графиката – 3 т.
За правилен математически метод за определяне на общата светлинна енергия, получена от планетата – 3 т.
За определяне на радиуса на планетната орбита – 2 т.
За правилен математически метод за определяне на отражателната способност на планетата – 4 т.
За измервания и определяне на величини по графиката – 2 т.
За правилен числен резултат – 1 т.

Оригинал в Архива: NOA3_2014_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2014_11-12solutions.pdf