НОА 2014, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 3. Затъмнение

• • $r_l = (r_s R_l + R_t(R_s - R_l)) / R_s \approx 379\,900\ \text{км}$

  Върхът на конуса на лунната сянка се опира в земната повърхност – вж. схемата в решението.

• • Само по време на равноденствие – пролетно или есенно.

  Слънцето и Луната трябва да са в екваториалната равнина на Земята.

• • $\Delta t_1 \approx 149^\mathrm{s} \approx 2^\mathrm{m}29^\mathrm{s},\quad \Delta t_2 \approx 156^\mathrm{s} \approx 2^\mathrm{m}36^\mathrm{s}$

  Два случая според това дали Луната е във възходящ ($v_{1\,rel} = 2.236$ км/с) или в нисходящ възел ($v_{2\,rel} = 2.135$ км/с) при диаметър на сянката $d \approx 333$ км. Отчитането на движението на Земята по орбитата й намалява тези времена с около 4-5 секунди.

Времетраенето на пълната фаза на едно слънчево затъмнение се определя от това с колко видимият ъглов размер на Луната превишава видимия ъглов размер на Слънцето. По друг начин казано, това е времето, за което лунната сянка преминава през наблюдателния пункт. Поради елиптичната форма на лунната орбита около Земята и на земната орбита около Слънцето, при различни случаи на слънчево затъмнение видимите ъглови размери на Слънцето и на Луната могат да са различни. Сянката на Луната има конусовидна форма. Ако пълната фаза на слънчевото затъмнение трае само миг, това означава, че върхът на конуса на лунната сянка се опира в земната повърхност. Схемата на затъмението в този случай изглежда така:

За земен наблюдател видимите ъглови размери на Луната и Слънцето при такова затъмнение са еднакви. Наблюдателят е застанал на екватора, Слънцето и Луната за него са в зенита.

Да означим с $r_s$ и $r_l$ разстоянията от центъра на Земята до центровете на Слънцето и на Луната. Нека $R_t$, $R_l$ и $R_s$ са радиусите на Земята, Луната и Слънцето. Както се вижда от чертежа, в сила е следното съотношение:

Оттук намираме разстоянието между центровете на Земята и Луната:

Да определеми скоростите $v_l$ и $v_{gs}$, с които се движат по орбитите си Луната и спътникът. Означаваме с $\mathrm{T}_l$ периода на обикаляне на Луната около Земята, а с $\mathrm{T}_t = 23^\mathrm{h}56^\mathrm{m}$ – периода на околоосно въртене на Земята (звездно денонощие), на който се равнява орбиталният период на геостационарния спътник. Така получаваме:

Орбитата на геостационарните спътници лежи в екваториалната равнина на Земята. Щом затъмнението е централно, за такъв спътник, и освен това е в зенита за наблюдател на екватора, то следователно Слънцето и Луната се намират също в екваториалната равнина на Земята. Това е възможно само по време на равноденствие – пролетно или есенно.

Луната се движи по орбита, която е наклонена относно еклиптиката на ъгъл $i = 5.15^\circ$. Движението на лунната сянка става в посока, която сключва ъгъл с екватора $\varepsilon + i$ или $\varepsilon - i$, в зависимост от това дали Луната е във възходящ възел на орбитата си или в нисходящ възел. Тук $\varepsilon$ е наклонът на земния екватор към еклиптиката.

Слънцето също се движи, в система свързана със Земята, като линейната му скорост е равна на линейната скорост на Земята при движението й по орбитата. Приносът на това движение е малък и сега ние ще го пренебрегнем.

От получените линейни скорости виждаме, че спътникът се движи приблизително три пъти по-бързо от Луната. Следователно той настига движещата се сянка на Луната и преминава през нея. Тъй като двете движения стават под ъгъл едно относно друго, то трябва да извадим векторно скоростите на спътника и лунната сянка, за да получим относителното им движение. Големината на относителната скорост на спътника за двата случая, възходящ и нисходящ възел, получаваме от косинусовата теорема:

Геостационарният спътник ще премине през по-широка част от лунната сянка и за наблюдател там пълната фаза на затъмнението няма да е само един миг. Тъй като видимият ъглов диаметър на Луната е много малък, за линейния диаметър $d$ на лунната сянка на височината на геостационарната орбита можем да напишем следното приблизително съотношение:

където $r_{gs}$ е радиусът на орбитата на геостационарния спътник.

Времето, за което спътникът ще пресече сянката в двата случая ще бъде:

Отчитането на движението на Слънцето, т.е. на Земята по нейната орбита, ще намали тези времена с около 4-5 секунди.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За правилна представа за геометрията на затъмнението и схема – 2 т.
За правилен математически метод за определяне на разстоянието между Луната и Земята – 2 т.
За верен числен отговор – 1 т.
За обяснение по кое време на годината се случва затъмнението – 2 т.
За верен математически метод за намиране на продължителността на пълната фаза – 2 т.
За отчитане на движението на Луната и определяне на относителното движение на спътника спрямо сянката – 2 т.
За отчитане на наклона на екватора към еклиптиката и наклона на лунната орбита – 2 т.
За разглеждане на двата възможни случая – 1 т.
За правилен числен отговор – 1 т.