Съдържание

НОА 2014, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2. Лунни спътници

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2014

XVII Национална олимпиада по астрономия 2014, национален кръг, тема за възрастова група XI-XII клас · 26 април 2014 г. · 15 т.

Условие

В XXII век на Луната са построени големи обитаеми лунни бази и около нея кръжат множество изкуствени спътници. Земен ученик от 11 клас се намира в такава база точно на северния полюс на Луната. Много често той наблюдава един от изкуствените спътници, който минава точно през зенита за него. Единадесетокласникът е установил, че времето, през което спътникът се вижда над хоризонта, е двойно по-кратко, отколкото времето, за което той е под хоризонта в рамките на всяка една обиколка около Луната.

• Пресметнете радиуса на орбитата на спътника и неговия орбитален период. [4 т.]

• Друг земен ученик – от 12 клас – се намира в лунна база на екватора на Луната. Той наблюдава два спътника, които прелитат през зенита за него. Те се движат в две противоположни посоки по орбити със същия радиус, както спътника, наблюдаван от единадесетокласника на полюса. Орбитите им се различават съвсем незначително, колкото спътниците да не се сблъскат помежду си, но това различие няма да отчитаме.

В даден момент дванадесетокласникът в екваториалната лунна база наблюдава двата спътника да изгряват едновременно – единият от изток, а другият от запад. Обяснете защо те няма да залязат едновременно. Пресметнете интервала от време между залеза на единия и залеза на другия спътник. [6 т.]

• На каква височина над хоризонта двата спътника ще се разминат? [5 т.]

Отговори

Решение

Наблюдател на лунния полюс.

За да бъде една трета от орбитата на спътника над хоризонта, трябва централният ъгъл на този участък от орбитата де е $120^\circ$ . Възможен е само един случай, при който радиусът на орбитата на спътника е два пъти по-голям от радиуса на Луната. В този случай фигурата на Луната се вписва в равностранен триъгълник, който от своя страна е вписан в орбитата на спътника (Фиг.1). Периодът на обикаляне на спътника може да се намери от формулата за кръгова скорост или от третия закон на Кеплер, като използваме масата и радиуса на Луната от справочните данни.

Според третия закон на Кеплер:

\frac{a^3}{T^2} = \frac{\gamma M}{4\pi^2}

Орбита на спътника с вписан равностранен триъгълник, в който е вписана Луната; отбелязани са централният ъгъл 120°, наблюдателят и орбитата на спътника. — Фиг.1

Следователно:

T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\gamma M}}

Орбита на спътника с равностранен триъгълник и Луната.

Фиг.1

Понеже радиусът на орбитата е два пъти по-голям от радиуса на Луната, след заместване на голямата полуос $a$ с удвоения радиус на Луната, получаваме:

T = 4\pi R \sqrt{\frac{2R}{\gamma M}} = 18390^\mathrm{s} = 5^\mathrm{h}\,06^\mathrm{m}\,30^\mathrm{s}

Наблюдател на екватора.

Щом спътниците изгряват от изток или запад и залязват на запад или изток, като при това преминават през зенита на наблюдателя, то те се движат по екваториална орбита. Луната, макар и бавно, се върти около своята ос. Следователно, за наблюдател на екватора на Луната, спътниците няма да се завъртат за един свой сидеричен период, а за един синодичен период, който е по-голям или по-малък, в зависимост от това дали спътникът се движи по посоката на въртене на Луната или в противоположна посока. Затова спътниците няма да залязват едновременно, а един след друг. За спътника движещ се в права посока синодичния период получаваме от уравнението:

\frac{1}{T_{Syn}} = \frac{1}{T_{Sid}} - \frac{1}{T},

T_{Syn} = \frac{T \cdot T_{Sid}}{T - T_{Sid}} = 5^\mathrm{h}\,08^\mathrm{m}\,54^\mathrm{s}

За спътника движещ се в обратна посока:

\frac{1}{T'_{Syn}} = \frac{1}{T_{Sid}} + \frac{1}{T},

T'_{Syn} = \frac{T \cdot T_{Sid}}{T + T_{Sid}} = 5^\mathrm{h}\,04^\mathrm{m}\,08^\mathrm{s}

Това са синодичните периоди на двата спътника за наблюдател на екватора. За да изминат една трета от орбитата си, в система свързана с наблюдателя на екватора, на спътниците ще е необходимо време равно на една трета от синодичния им период.

За спътника движещ се в права посока:

t = \frac{T_{Syn}}{3} = 1^\mathrm{h}\,42^\mathrm{m}\,58.1^\mathrm{s},

а за спътника, движещ се в обратна посока:

t' = \frac{T'_{Syn}}{3} = 1^\mathrm{h}\,41^\mathrm{m}\,22.6^\mathrm{s}

Разликата между двете времена дава интервала от време между залеза на единия спътник и залеза на другия спътник. Първи ще залезе спътникът с по-кратък синодичен период. Това е спътникът движещ се обратно на въртенето на Луната. След него ще залезе спътникът движещ се в права посока. Интервалът между двата залеза е:

\Delta t = t - t' = 1^\mathrm{m}\,35.4^\mathrm{s} = 95.5^\mathrm{s}

Поради различната видима ъглова скорост, за наблюдател намиращ се в центъра на Луната и въртящ се с нея, спътниците до момента на срещата ще изминат различни дъги от видимата от повърхността на Луната част от орбитата. Отношението на дължините на тези дъги ( $l$ и $l'$ ) е право пропорционално на отношението на видимите ъглови скорости, или обратно пропорционално на отношението на периодите на спътниците, както и на отношението на третините на тези периоди:

\frac{l}{l'} = \frac{T'}{T} = \frac{t'}{t},

Освен това сумата от дъгите е $120^\circ$ :

l + l' = 120^\circ

Решаваме тази система уравнения относно $l'$ и $l$ и за разликата им получаваме:

l' - l = 120^\circ\left(\frac{t - t'}{t + t'}\right) = 56'\,01''.4 \approx 56'

Следователно по-бързият спътник от изгрева си до срещата ще измине дъга от $60^\circ$ плюс $56'$ / 2 = $28'$ , а по-бавният ще измине дъга от $60^\circ$ минус $28'$ . Това означава, че за наблюдател в центъра на Луната срещата на двата спътника ще се осъществи в точка, отстояща на $28'$ от зенита в посока запад. Но ние разглеждаме наблюдател на лунната повърхност, който се намира два пъти по-близо до орбитата на спътниците. Тъй като ъгълът е малък, може да приемем, че същата дъга от орбитата на спътниците наблюдателят от повърхността на Луната ще вижда под два пъти по-голям ъгъл. Следователно зенитното отстояние на точката на разминаване на двата спътника е:

z \approx 56'\,.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За правилен начин на определяне на радиуса на орбитата и периода на полярния спътник – 2 т.
За верни числени резултати – 2 т.
За обяснение защо двата екваториални спътника няма да залязат едновременно – 1 т.
За правилен метод на пресмятане на разликата във времената на залез – 4 т.
За верен числен отговор – 1 т.
За правилен метод за определяне на точката на срещата на спътниците – 3 т.
За верен числен резултат – 1 т.
За отчитане на факта, че наблюдателят е на повърхността, а не в центъра на Луната – 1 т.

Оригинал в Архива: NOA3_2014_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2014_11-12solutions.pdf