Съдържание

НОА 2014, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1. Космическа катастрофа

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2014

XVII Национална олимпиада по астрономия 2014, национален кръг, тема за възрастова група XI-XII клас · 26 април 2014 г. · 15 т.

Условие

Звездата Вега е една от най-ярките звезди на небето. Тя е от спектрален клас A0 с температура 9600 K, светимост 40 пъти по-голяма от тази на Слънцето и маса 2.14 слънчеви маси. Вега има необикновено бързо околоосно въртене с период само 12.5 часа. Поради това тя има значителна сплеснатост – полярният й радиус е 2.36 слънчеви радиуса, а екваториалният – 2.82 слънчеви радиуса. Около звездата се наблюдава обширен прахов диск и се смята, че в него може да са се образували много планети, някои от които подобни на Юпитер.

Изследванията на новоткритите гигантски планети около други звезди показват, че много от тях се движат по орбитите си в посока обратна на околоосното въртене на звездите. Предполага се, че това се получава при гравитационното взаимодействие между самите планети в планетните системи на звездите или с кафяво джудже, което е спътник на основната звезда.

Да предположим, че в резултат от подобно взаимодействие планета с масата на Юпитер на разстояние 5 AU от Вега придобива начална скорост, перпендикулярна на посоката към звездата, и тръгва по силно изтеглена елиптична орбита с такова обратно движение. Периастрият на орбитата се намира на един звезден екваториален радиус от центъра на Вега.

• Определете енергията, която се отделя при сблъсъка на планетата и звездата. [11 т.]

• Сравнете енергията на експлозията с енергията, която Вега излъчва за една секунда. Приемете, че цялата кинетична енергия при сблъсъка се превръща в излъчване. [4 т.]

Отговори

Решение

За да определим скоростта на сблъсъка на планетата със звездата, трябва първо да определим скоростта на планетата в периастър. Ще използваме закона за запазване на енергията и втория закон на Кеплер.

От закона за запазване на енергията следва:

\frac{m_J v_a^2}{2} - \frac{\gamma m_J M_{Vega}}{r_a} = \frac{m_J v_p^2}{2} - \frac{\gamma m_J M_{Vega}}{r_p}

където $m_J$ е масата на планетата, $M_{Vega}$ е масата на Вега, $v_a$ и $v_p$ са скоростите на планетата в апоастър и периастър, а $r_a$ и $r_p$ са разстоянията от планетата до звездата в апоастър и периастър. Трябва да имаме предвид, че разстоянието в периастър е равно на радиуса на Вега.

Записваме и втория закон на Кеплер, който за двете характерни точки на орбитата, в които моментната скорост е перпендикулярна на радиус-вектора, има следния вид:

r_a v_a = r_p v_p

От това уравнение изразяваме скоростта $v_a$ чрез другите величини и заместваме в първото уравнение. След елементарни преобразования получаваме следния израз за скоростта в периастъра на орбитата, т.е. в момента на сблъсъка на планетата със звездата:

v_p = \sqrt{\frac{2\gamma M_{Vega} \cdot r_a}{r_p \cdot \left(r_a + r_p\right)}}

Обръщаме внимание, че изразът $r_a /(r_a+r_p)$ е много близък по стойност до единица, поради това, че $r_p$ е много по-малко от $r_a$ . Получаваме разлика от две единици в четвъртия знак. Затова при пресмятанията може да използваме формулата:

v_p \approx \sqrt{\frac{2\gamma M_{Vega}}{r_p}}

Виждаме, че това е формулата за втора космическа скорост за повърхността на Вега, което можеше да се очаква предвид голямата разлика в периастърното и апоастърното разстояние.

Пресмятаме, използвайки масата на Слънцето от справочните данни, и получаваме:

v_p \approx 538\ km/s

Това, обаче, не е скоростта, с която планетата ще се сблъска с Вега. Вега се върти много бързо, а планетата се движи по орбитата си в посока, противоположна на въртенето на звездата около оста й. Сблъсъкът се осъществява в атмосферата на звездата. Затова планетата взаимодейства с веществото от атмосферата, което се движи срещу нея с линейна скорост, определена от скоростта на околоосно въртене на звездата. Да пресметнем линейната скорост на движение на точка от фотосферата на Вега. За целта разделяме дължината на екваториалната обиколка на Вега на периода на въртене:

v_{rot} = \frac{2\pi R_{Vega}}{T_{Vega}} = 274\ km/s

Виждаме, че линейната скорост, с която се върти атмосферата на Вега, е много голяма, по-голяма от скоростта на планетата в периастъра на елиптичната орбита. Относителната скорост на планетата спрямо атмосферата на Вега получаваме като съберем двете скорости. Събираме скоростите поради това, че планетата и атмосферата на звездата, в момента на сблъсъка, се движат в противоположни посоки.

v = v_p + v_{rot} = 812\ km/s

Това е скоростта, при която се осъществява сблъсъкът на планетата със звездата. Тази скорост трябва да се използва при пресмятане на енергията, отделена при удара. Предполагаме, че цялата кинетична енергия се преобразува в друг вид енергии. Тогава отделената енергия е равна на кинетичната енергия на сблъсъка:

E_k = \frac{m_J v^2}{2} \approx 6.23 \cdot 10^{38}\, J

Светимостта на звездата получаваме от закона на Стефан-Болцман:

L_{Vega} = 4\pi\sigma R_{Vega}^2 T_{Vega}^4 \approx 1.97 \cdot 10^{28}\, W

Можем да използваме и информацията от условието на задачата, че Вега има 40 пъти по-висока светимост от Слънцето и следователно $L_{Vega} = 40\, L_s \approx 1.54 \times 10^{28}$ W.

Виждаме, че енергията отделена при сблъсъка е приблизително 40000000000 (четиридесет милиарда) пъти по-голяма от енергията, която звездата излъчва за една секунда. Разбира се, тази енергия не се отделя за една секунда, но количеството й е впечатляващо.

Това можеше да се очаква, защото едни от най-мощните процеси във Вселената, избухванията на свръхнови звезди, както и процесите ставащи в квазарите, всъщност се дължат на отделена кинетична енергия – в първия случай това е колапс на звезда (става дума за свръхнови звезди от II тип ), а във втория е падане на големи количества вещество под действие на мощните гравитационни полета на свръхмасивни обекти.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За правлен математически метод за определяне на скоростта на планетата в периастрий – 5 т.
За верен числен резултат – 1 т.
За определяне и отчитане на скоростта на въртене на повърхността на Вега – 4 т.
За правилен краен резултат за енергията – 1 т.
За пресмятане на светимостта на звездата – 2 т.
За сравнение и с енергията на планетата и извод – 2 т.

Оригинал в Архива: NOA3_2014_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2014_11-12solutions.pdf