НОА 2014, III кръг (национален), 7–8 клас — Практическа задача. Фази на Галилеевите спътници

• • $G_1$ – „новопланетие”; $G_2$ – първа четвърт; $G_3$ – „пълнопланетие”; $G_4$ – последна четвърт.
• • Йо и Европа се виждат в новолуние в $I_1$ и $E_1$; в пълнолуние, първа или последна четвърт те не могат да се наблюдават оттам. Калисто е в пълнолуние в $C_1$ и в четвърт в $C_{1a}$ и $C_{1b}$; новолунието му в $C_3$ е закрито от Юпитер.
• • Вж. разглеждането на трите случая в решението.
• • Само когато Ганимед е върху дъгата $G_I G_{II}$ или върху дъгата $G_{III} G_{IV}$.
• • Цялата орбита на Ганимед отговаря на условието — за всяко негово положение има точно две точки от орбитата на Калисто, в които спътникът е във фаза четвърт.

Начертаваме в подходящ мащаб Юпитер, означен с J, и орбитите на спътниците. Отбелязваме посоката, от която приемаме, че идват слънчевите лъчи, както и посоката, в която става орбиталното движение на спътниците. Обозначаваме с черен цвят неосветените от Слънцето страни на всяко от телата.

„Новопланетието” за Ганимед ще бъде, когато Юпитер е обърнат изцяло с тъмната си страна към него. За целта Ганимед трябва да се намира в точка $G_1$. „Пълнопланетието” ще е, когато гигантската планета е обърната изцяло с осветената си страна към спътника. Тогава спътникът следва да е в точка $G_3$. В четвърт планетата ще се вижда от Ганимед, когато отстои на $90^\circ$ от Слънцето в небето на ганимедианските жители. Имайки предвид посоката на орбиталното движение на Ганимед, можем да определим, че Юпитер ще се вижда във фаза първа четвърт след фазата „новопланетие” ($G_2$), и съответно в последна четвърт – след фазата „пълнопланетие” ($G_4$).

Нека Ганимед се намира в точка $G_1$.

Жителят на Ганимед ще вижда спътнците Йо и Европа в новолуние, когато те се намират в точките $I_1$ и $E_1$. Би могъл по принцип да ги вижда в новолуние и когато се намират съответно в точките $I_3$ и $E_3$, но тогава те ще бъдат закрити от гигантската планета Юпитер. На схемата Юпитер е даден в реален мащаб спрямо радиусите на спътниковите орбити, а спътниците са отбелязани със силно преувеличени размери, за да се отличават фазите им. Иначе те са извънредно малки в сравнение с Юпитер. Освен това наклоните на орбитите им спрямо екватора на Юпитер са назначителни и не превишават половин градус. Затова няма шанс някой от тях да се наблюдава от Ганимед малко над или под Юпитер в случаите, когато са от другата страна на планетата, въпреки че тя ще осигури удобно за такова наблюдение слънчево затъмнение.

От това положение на Ганимед няма начин Йо и Европа да се наблюдават в пълнолуние, първа или последна четвърт, където и да се намират по своите орбити.

Калисто ще се вижда в пълнолуние, когато е в точка $C_1$. В точките $C_{1a}$ и $C_{1b}$ този спътник ще се вижда от Ганимед в четвърт. Ганимед, като по-вътрешен спътник, се движи по-бързо около Юпитер. Следователно, последователно във времето, наблюдателят от Ганимед първо ще вижда Калисто в положение $C_{1b}$ , после в положение $C_1$ – т.е. в пълнолуние, а след това в положение $C_{1a}$. По тази логика можем да кажем, че в точка $C_{1b}$ Калисто е в първа четвърт, а в точка $C_{1b}$ – в последна четвърт. Жителят на Ганимед би наблюдавал Калисто в новолуние в точка $C_3$, ако не пречеше планетата Юпитер.

Нека Ганимед се намира в точка $G_3$.

Разсъждения, подобни на горните, ни довеждат до заключението, че спътниците Йо и Европа ще се наблюдават в пълнолуние, когато с в точките $I_3$ и $E_3$ . Тези спътници никога няма да се виждат в четвърт, а когато са в точките $I_1$ и $E_1$, макар да са в пълнолуние за ганимедианския наблюдател, те няма да се виждат, понеже ще са скрити зад Юпитер.

Спътникът Калисто в положение $C_3$ ще бъде в новолуние, а в положения $C_{3a}$ и $C_{3b}$ съответно в първа и в последна четвърт. Поради закритието от Юпитер пълнолунието на Калисто в точка $C_1$ няма да се вижда.

Нека Ганимед се намира в точка $G_2$.

Тогава спътниците Йо и Европа в точки $I_2$ и $E_2$ ще се виждат в четвърт. Те се движат по-бързо от Ганимед. При по-нататъшното развитие на фазите им те ще се доближават до новолуние. Затова можем да заключим, че в точки $I_2$ и $E_2$ те са в последна четвърт. В точки $I_4$ и $E_4$ двата спътника биха били в първа четвърт за наблюдателя на Ганимед, но ще са скрити от Юпитер. В точка $C_{2a}$ Калисто ще се вижда в новолуние, а в точка $C_{2b}$ – в пълнолуние.

Спътникът Калисто в положение $C_2$ ще бъде в първа четвърт. Когато Калисто е в точка $C_4$ , ако не го скриваше Юпитер, щеше да се наблюдава от Ганимед също в четвърт, Спътникът Калисто в точка $C_4$ ще бъде в последна четвърт, в точка $C_{4a}$ ще се вижда в пълнолуние, а в точка $C_{4b}$ – в новолуние.

Нека Ганимед се намира в точка $G_4$.

Отново подобни разсъждения ни водят до извода, че тогава спътниците Йо и Европа в точки $I_4$ и $E_4$ биха били в първа четвърт, а в пълнолуние или новолуние не могат да се виждат никога. Спътникът Калисто в точка $C_2$ ще бъде в последна четвърт, в точка $C_{4a}$ ще се вижда в новолуние, а в точка $C_{4b}$ – в пълнолуние.

Сега начертаваме още веднъж схемата с орбитите. За да се наблюдава от Ганимед някой спътник в четвърт, трябва правата, свързваща Ганимед със спътника, да е перпендикулярна на правата Ганимед – Слънце. Спътникът Европа може да се наблюдава в четвърт, само когато Ганимед се намира върху дъгата $G_I G_{II}$, или когато е върху дъгата $G_{III} G_{IV}$. За всяка точка от тези дъги, в която се намира Ганимед, са възможни две положения на Европа, в които тя е във фаза четвърт. Само когато Ганимед се намира точно в граничните точки $G_I$ или $G_{IV}$ , има само едно положение на Европа – точката $E_I$, в което тя може да се види в четвърт. Аналогично, когато Ганимед е в някоя от точките $G_{II}$ или $G_{III}$ , Европа ще се вижда в четвърт само в една точка – точката $E_{II}$. Когато Ганимед се намира между точките $G_{I0}$ и $G_{II0}$, или $G_{III0}$ и $G_{IV0}$, спътникът Европа ще се вежда в четвърт, само когато е в по-близкото до Ганимед от двете възможни положения, но не и когато е зад Юпитер.

За всяко положение по орбитата на Ганимед съществуват точно две точки от орбитата на Калисто, в които този спътник би бил във фаза четвърт за ганимедианския наблюдател. Лесно можем да се убедим в това. Нека Ганимед е в призволна точка от орбитата си. Построяваме права, минаваща през тази точка и перпендикулярна на направлението Ганимед – Слънце. Тази права винаги ще пресича орбитата на Калисто в две точки. Следователно цялата орбита на Ганимед отговаря на условието, поставено в задачата.

Критерии за оценяване (общо 20 т.):

За построяване на схемата с орбитите в мащаб – 1 т.
За определяне на положенията $G_1$, $G_2$, $G_3$ и $G_4$, в които от Ганимед ще се наблюдават основните фази на Юпитер – 2 т.
За отбелязване на положенията, в които спътниците ще се виждат в съответните фази от Ганимед, и обяснения за 4-те случая $G_1$, $G_2$, $G_3$ и $G_4$ – $4 \times 3 = 12$ т.
За построяване на втората схема и обяснение на идеята – 2 т.
За правилно заключение относно спътника Европа – 2 т.
За правилен извод относно Калисто – 2 т.