НОА 2014, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 3. Затъмнение

• • Върхът на конуса на лунната сянка се опира в земната повърхност — вж. схемата в решението.
• • За земен наблюдател видимите ъглови размери на Луната и Слънцето при такова затъмнение са еднакви.
• • $r_l = (r_s R_l + R_t(R_s - R_l)) / R_s \approx 379\,900\ \text{км}$
• • $\Delta t = d / v' \approx 162\ \text{с} \approx 2^\mathrm{m}42^\mathrm{s}$

Времетраенето на пълната фаза на едно слънчево затъмнение се определя от това с колко видимият ъглов размер на Луната превишава видимия ъглов размер на Слънцето. По друг начин казано, това е времето, за което лунната сянка преминава през наблюдателния пункт. Поради елиптичната форма на лунната орбита около Земята и на земната орбита около Слънцето, при различни случаи на слънчево затъмнение видимите ъглови размери на Слънцето и на Луната могат да са различни. Сянката на Луната има конусовидна форма. Ако пълната фаза на слънчевото затъмнение трае само миг, това означава, че върхът на конуса на лунната сянка се опира в земната повърхност. Схемата на затъмението в този случай изглежда така:

За земен наблюдател видимите ъглови размери на Луната и Слънцето при такова затъмнение са еднакви. Наблюдателят е застанал на екватора, Слънцето и Луната за него в зенита.

Да означим с $r_s$ и $r_l$ разстоянията от центъря на Земята до центровете на Слънцето и на Луната. Нека $R_t$, $R_l$ и $R_s$ са радиусите на Земята, Луната и Слънцето. Както се вижда от чертежа, в сила е следното съотношение:

Оттук намираме разстоянието между центровете на земята и Луната:

Геостационарният спътник ще премине през по-широка част от лунната сянка и за наблюдател там пълната фаза на затъмнението няма да е само един миг. Тъй като видимият ъглов диаметър на Луната е много малък, за линейния диаметър $d$ на лунната сянка на височината на геостационарната орбита можем да напишем следното приблизително съотношение:

където $r_{gs}$ е радиусът на орбитата на геостационарния спътник.

Да определем скоростите $v_l$ и $v_{gs}$, с които се движат по орбитите си Луната и спътникът. Означаваме с $\mathrm{T}_l$ периода на обикаляне на Луната около Земята, а с $\mathrm{T}_t = 23^\mathrm{h}56^\mathrm{m}$ – периода на околоосно въртене на Земята (звездно денонощие), на който се равнява орбиталният период на геостационарния спътник. Така получаваме:

Спътникът и Луната се движат около Земята в една и съща посока. Около момента на затъмнението можем да считаме, че те се движат успоредно, а също, че лунната сянка се движи със скоростта на Луната. Спътникът е по-бърз – той ще настигне и ще прекоси лунната сянка. Относителната скорост на спътника спрямо сянката ще бъде:

Времето, за което спътникът ще пресече сянката, ще бъде:

Продължителността на пълната фаза на затъмнението за наблюдател на геостационарния спътник ще бъде около $2^\mathrm{m}42^\mathrm{s}$.

Критерии за оценяване (общо 14 т.)

За правилна представа за геометрията на слънчевото затъмнение в дадената ситуация – 1 т.
За правилна схема – 2 т.
За правилен математически метод за определяне на разстоянието между Луната и Земята – 3 т.
За верен числен отговор – 1 т.
За правилна представа защо от геостационарния спътник пълната фаза няма да е само миг – 1 т.
За верен математически метод за намиране на продължителността на пълната фаза – 3 т.
За отчитане на движението на Луната и определяне на относителното движение на спътника спрямо сянката – 2 т.
За правилен числен отговор – 1 т.