Съдържание

НОА 2014, IV кръг, Младша възраст — Задача 5. Звездата на смъртта

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2014

XVII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ — IV кръг, 9 юли 2014 г., х. Бузлуджа, теоретичен тур — Младша възраст · 9 юли 2014 г.

Условие

В орбита около Луната навлиза “Звездата на смъртта 3” – огромен космически кораб с диаметър 900 км, управляван от владетеля на тъмната сила Емо Георгиев. Корабът е покрит с поглъщащ всяко електромагнитно лъчение слой, което го прави невидим за непосредствено наблюдение. Обаче при преминаване пред диска на Луната, той може да се види като тъмен кръг на фона на лунната повърхност. Започналите наблюдения показват, че той се движи по кръгова орбита, като преминава близо до центъра на лунния диск на всеки 3 часа 35 минути и 25 секунди.

• Определете на каква височина над лунната повърхност се движи огромният космически кораб.

• Нарисувайте схематично кривата на блясъка на Луната в пълнолуние, като спазвате мащаба по оста на звездните величини. Означете на кривата характерните точки на преминаването на кораба пред Луната. Нарисувайте орбитата му около Луната и положенията на кораба върху орбитата в характерните точки от кривата на блясъка. Коментирайте кратко формата на кривата на блясъка.

Приемете, че орбитата на Луната е кръгова.

Отговори

Решение

За да определим на каква височина се движи “Звездата на смъртта” над лунната повърхност, трябва да определим периода ѝ на обикаляне около Луната. Интервалът от време за преминаване на кораба близо до центъра на Лунния диск е равен на синодичния период за земен наблюдател. Понеже няма информация за положението на наблюдателите по земната повърхност, а периодът е даден с голяма точност, предполагаме че става дума за синодичния период относно линията Земя – Луна. Посоката на движение на кораба около Луната не е дадена, поради което ще разгледаме два случая – на право и обратно движение.

Нека корабът обикаля около Луната в посоката на орбиталното ѝ движение. Тогава за връзката между синодичния и сидеричния период на кораба може да напишем:

\frac{1}{T_{Syn}} = \frac{1}{T_{Sid}} - \frac{1}{T_L}, \qquad \frac{1}{T_{Sid}} = \frac{1}{T_{Syn}} + \frac{1}{T_L}

T_{Sid} = \frac{T_{Syn}\cdot T_L}{T_L + T_{Syn}} = 0^{d}.1488 = 3^{h}34^{m}15^{s} = 12855^{s}

За случая на обикаляне на кораба в посока обратна на орбиталното движение на Луната, пишем съотношенията:

\frac{1}{T'_{Sid}} = \frac{1}{T_{Syn}} - \frac{1}{T_L}

T'_{Sid} = \frac{T_{Syn}\cdot T_L}{T_L - T_{Syn}} = 0^{d}.150424 = 3^{h}36^{m}37^{s} = 12997^{s}

Радиуса на орбитата намираме от третия закон на Кеплер. За движението в права посока:

r = \sqrt[3]{T_{Sid}^{2}\,\frac{\gamma\cdot M_L}{4\pi^{2}}} = 2738\ km

Тогава височината над повърхността на Луната е : $h = r - R_L = 1000\ km$

За движението в обратна посока, пресмятаме радиуса на орбитата, като използваме сидеричния период, получен за случая на обратно движение и получаваме:

r' = 2758\ km

h' = r' - R_L = 1020\ km

Приемаме, че Луната е достатъчно далеч в сравнение на размерите на орбитата кораба и затова ще строим посоките към наблюдателя успоредни.

На Фиг.1 са показани Луната, орбитата на кораба и характерни моменти от пасажа на кораба върху диска на Луната – първи контакт, втори контакт, трети контакт и четвърти контакт, както и положението на кораба по орбитата му в четирите контакта. Виждаме, че времето между характерните точки е пропорционално на ъгъла който кораба е изминал по орбитата си. Това се дължи на равномерното движение на кораба по орбитата.

Схема: окръжност „Луна“ в центъра, по-голяма концентрична окръжност „Орбита на кораба“; хоризонтален диаметър и две вертикални успоредни линии със стрелки надолу, допирателни към лунния диск (посоки към наблюдателя). Четири сиви кръга — положения на кораба 1, 2, 3, 4 по долната половина на орбитата; от центъра излизат радиуси към тях, ъглите са означени α1, α2, α3. — Фиг. 1

[Фиг. 1]

Ето как ще изглежда кривата на блясъка на Луната:

Крива на блясъка: вертикална ос m с деления -12.75 и -12.65, хоризонтална ос t [P] с деления 0.1, 0.2, 0.3, 0.4. Кривата е хоризонтална, пада линейно между точки 1 и 2, остава постоянна до точка 3 и се връща нагоре до точка 4; от точките 1–4 има стрелки надолу към оста t. — Фиг. 2

[Фиг. 2]

Разликата в звездните величини в минимум и максимум се определя от отношението на площите на Луната и на Луната без площта, засенчена от “Звездата на смъртта” :

\Delta m = -2.5\lg\left(\frac{S_L - S_{DS}}{S_{DS}}\right) = 0^{m}.075

Ако повърхността на Луната беше с равномерна отражателна способност, кривата на блясъка би следвала нарисуваната непрекъсната крива. Минимумът е плосък, защото дискът на Луната, като цяло, изглежда равномерно осветен от Слънцето поради особеностите в разсейването на светлината от лунната повърхност ( както е и при други планети ).

Справочни данни

Орбитален период на Луната – $27^{d}.32$
Маса на Луната – $7.35\times10^{22}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Луната – $1738\ \mathrm{km}$
Гравитационна константа – $6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N.m^{2}.kg^{-2}}$
Звездна величина на Луната в пълнолуние – $-12.74^{m}$
Синодичен лунен месец – 29.5 денонощия
Звездно денонощие – 23 ч. 56 м. 04 с.

Справочни данни

Орбитален период на Луната – $27^{d}.32$
Маса на Луната – $7.35\times10^{22}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Луната – $1738\ \mathrm{km}$
Радиус на Земята – $6378\ \mathrm{km}$
Гравитационна константа – $6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N.m^{2}.kg^{-2}}$
Звездна величина на Луната в пълнолуние – $-12.74^{m}$
Синодичен лунен месец – 29.5 денонощия
Звездно денонощие – 23 ч. 56 м. 04 с.

Оригинал в Архива: NOA4_2014_MLproblems.pdf · официални решения: NOA4_2014_MLsolutions.pdf