НОА 2014, IV кръг, Старша възраст — Задача 1. Разстоянията до звездите

• • 390000 AU

  $r^*/r_0 \approx 390\ 000$; в решението: $390\ 000\ \mathrm{AU} \approx 2\ \mathrm{pc} \approx 6.5\ \mathrm{ly}$.

Решение:

Разстояние от Земята до Сатурн в опозиция:

$r_{ST} = r_S - r_0 = 9.5 - 1 = 8.5\ \mathrm{AU}$

Осветеност, създавана на Земята от Слънцето:

$E_0 = L / 4\pi r_0^2$

Видим ъглов диаметър на Сатурн от Земята $\delta_{ST} = 20''$

Видим ъглов диаметър на Сатурн от Слънцето $\delta_S = \delta_{ST} \cdot r_{ST} / r_S = 17.89''$

Видима от Слънцето ъглова площ на Сатурн $\sigma_S = \pi \cdot \delta_S^2 / 4$

Светлинна енергия от Слънцето, попадаща върху Сатурн $W = \sigma_S \cdot L / 4\pi$

Осветеност, създавана от Сатурн на Земята $E_S = AW / 2\pi\, r_{ST}^2$

Осветеност, създавана на Земята от звезда като Слънцето с видим блясък като този на Сатурн $E^* = E_S$

Разстояние до звездата $r^*$

$E_0 / E_S = E_0 / E^* = r^{*2} / r_0^2$

Накрая получаваме: $r^* / r_0 = (r_{ST} / r_0) \cdot (1 / \delta_S) \cdot (8 / A)^{1/2}$, където $\delta_S$ е в радиани.

$r^* / r_0 \approx 390\ 000$

Звездите са примерно 390 000 пъти по-далеч от нас, отколкото Слънцето.

$390\ 000\ \mathrm{AU} \approx 2\ \mathrm{pc} \approx 6.5\ \mathrm{ly}$

Сатурн е била най-далечната планета, известна по времето на Нютон, а звездната му величина е подобна на звездните величини на ярките звезди, за разлика от другите видими с прости око планети, които са значително по-ярки от звездите.