НОА 2014, IV кръг, Старша възраст — Задача 2. Земната орбита

• • 0.13

• • В перихелий ≈ 24h 00m 50s; в афелий ≈ 23h 58m 44s

  В решението и двете формули са отпечатани с означението $T_{0a}$ (и за перихелий, и за афелий).

Решение:

Осветеност от Слънцето на 45° г.ш. по пладне при перихелийно разстояние по новата орбита:

$E \propto (1 / r_p^2) \cdot \sin 45^{\circ}$

Осветеност от Слънцето на 45° г.ш. по пладне при лятно слънцестоене по сегашната орбита:

$E_0 \propto (1 / a^2) \cdot \sin(45^{\circ} + \varepsilon)$

По условие $E = E_0$

$(1 / r_p^2) \cdot \sin 45^{\circ} = (1 / a^2) \cdot \sin(45^{\circ} + \varepsilon)$

$r_p = a\,(\sin 45^{\circ} / \sin(45^{\circ} + \varepsilon))^{1/2} \approx 0.87a$ $\qquad r_a = 2a - r_p = 2.13a$

Както е известно: $r_p = a\,(1 - e)$

$e = 1 - r_p / a = 0.13$

Линейната скорост на Земята по сегашната ѝ орбита е $v_0 = 2\pi a / T$, $\quad T = 365.25^{\mathrm{d}}$

Ъгловата ѝ скорост е $\omega_0 = v_0 / a = 2\pi / T$

Линейната и ъгловата скорост в перихелий са:

$v_p = v_0((1 + e) / (1 - e))^{1/2}$ $\qquad \omega_p = v_p / r_p = \omega_0((1 + e) / (1 - e)^3)^{1/2} \approx 1.310\omega_0$

В афелий:

$v_a = v_0((1 - e) / (1 + e))^{1/2}$ $\qquad \omega_a = v_a / r_a = \omega_0((1 - e) / (1 + e)^3)^{1/2} \approx 0.777\omega_0$

Звездно денонощие: $T_0 = 23\mathrm{h}\ 56\mathrm{m}$

Видимата ъглова скорост на денонощното движение на Слънцето по небето в перихелий: $\omega_{0p} = 2\pi / T_0 - \omega_p$

В афелий: $\omega_{0a} = 2\pi / T_0 - \omega_a$

Слънчево денонощие в перихелий $T_{0a} = TT_0 / (T - 1.310T_0) \approx 24\mathrm{h}\ 00\mathrm{m}\ 50\mathrm{s}$

В афелий $T_{0a} = TT_0 / (T - 0.777T_0) \approx 23\mathrm{h}\ 58\mathrm{m}\ 44\mathrm{s}$