Съдържание

НОА 2014, IV кръг, Старша възраст — Задача 5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2014

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА. КОМИСИЯ ЗА ПРОВЕЖДАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ. XVII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ. IV кръг, 9 юли 2014 г., х. Бузлуджа, теоретичен тур. Старша възраст · 9 юли 2014 г.

Условие

В орбита около Луната навлиза “Звездата на смъртта 3” – огромен космически кораб с диаметър 900 км, пилотиран от предводителя на ситхите Теодор Алексиев. Корабът е покрит с поглъщащ всяко електромагнитно лъчение слой, което прави станцията невидима за непосредствено наблюдение. Обаче при преминаване пред диска на Луната, тя може да се види като тъмен кръг на фона на лунната повърхност. Започналите наблюдения показаха, че тя се движи по кръгова орбита, като преминава близо до центъра на лунния диск на всеки 3 часа 35 минути и 25 секунди.

• Определете на каква височина над лунната повърхност се движи огромният космически кораб.

• Възстановете, доколкото е възможно, кривата на блясъка на Луната в пълнолуние, като спазвате мащаба по оста на времето и по оста на звездните величини. Означете времената на характерните точки на преминаването на станцията пред Луната. Дайте необходимите схеми и кратки обяснения.

Приемете, че орбитата на Луната е кръгова.

Отговори

Решение

Решение: За да определим на каква височина се движи “Звездата на смъртта” над лунната повърхност, трябва да определим периода ѝ на обикаляне около Луната. Интервалът от време за преминаване на кораба близо до центъра на Лунния диск е равен на синодичния период за земен наблюдател. Понеже няма информация за положението на наблюдателите по земната повърхност, а периодът е даден с голяма точност, предполагаме че става дума за синодичния период относно линията Земя – Луна. Посоката на движение на кораба около Луната не е дадена, поради което ще разгледаме два случая – на право и обратно движение.

Нека корабът обикаля около Луната в посоката на орбиталното ѝ движение. Тогава за връзката между синодичния и сидеричния период на кораба може да напишем:

\frac{1}{T_{Syn}} = \frac{1}{T_{Sid}} - \frac{1}{T_L}, \qquad \frac{1}{T_{Sid}} = \frac{1}{T_{Syn}} + \frac{1}{T_L}

T_{Sid} = \frac{T_{Syn} \cdot T_L}{T_L + T_{Syn}} = 0^{\mathrm{d}}.1488 = 3^{\mathrm{h}}34^{\mathrm{m}}15^{\mathrm{s}} = 12855^{\mathrm{s}}

За случая на обикаляне на кораба в посока обратна на орбиталното движение на Луната, пишем съотношенията:

\frac{1}{T'_{Sid}} = \frac{1}{T_{Syn}} - \frac{1}{T_L}

T'_{Sid} = \frac{T_{Syn} \cdot T_L}{T_L - T_{Syn}} = 0^{\mathrm{d}}.150424 = 3^{\mathrm{h}}36^{\mathrm{m}}37^{\mathrm{s}} = 12997^{\mathrm{s}}

Радиуса на орбитата намираме от третия закон на Кеплер. За движението в права посока:

r = \sqrt[3]{T_{Sid}^2 \frac{\gamma \cdot M_L}{4\pi^2}} = 2738\ km

Тогава височината над повърхността на Луната е : $h = r - R_L = 1000\ km$

За движението в обратна посока, пресмятаме радиуса на орбитата, като използваме сидеричния период, получен за случая на обратно движение и получаваме:

r' = 2758\ km

h' = r' - R_L = 1020\ km

Приемаме, че Луната е достатъчно далеч в сравнение на размерите на орбитата кораба и затова ще строим посоките към наблюдателя успоредни.

Схема на пасажа: голяма окръжност „Орбита на кораба“ около по-малка окръжност „Луна“; хоризонтален диаметър през центъра; разстоянията x1, x2 и R_L, отмерени от центъра; четири тъмни кръга на кораба в положения 1, 2, 3, 4 по долната част на орбитата, с вертикални линии (посоки към наблюдателя) и ъгли α1, α2, α3 между радиусите към положенията. — Фиг. 1

На Фиг.1 са показани характерни моменти от пасажа на кораба върху диска на Луната. Поради близостта на кораба до повърхността на Луната, за да определим времето на всеки един от контактите, трябва да определим ъглите на които корабът се е придвижил по своята орбита. От Фиг.1 се вижда, че са в сила следните съотношения:

За първи контакт:

\cos\alpha_1 = \frac{x_1}{r} = \frac{R_L + R_{DS}}{r} = 0.8, \qquad \alpha_1 = \arccos\left(\frac{R_L + R_{DS}}{r}\right) = 37^{\circ}

За втори контакт:

\cos(\alpha_1 + \alpha_2) = \frac{x_2}{r} = \frac{R_L - R_{DS}}{r} = 0.47, \qquad \alpha_1 + \alpha_2 = 62^{\circ}

За трети контакт:

\alpha_3 = 180^{\circ} - 2(\alpha_1 + \alpha_2) \approx 56^{\circ}, \qquad \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 118^{\circ}

За четвърти контакт:

\alpha_1 + 2\alpha_2 + \alpha_3 = 143^{\circ}

Делим ъглите на 360 градуса и получаваме времената на контактите в части от синодичния период на кораба. Умножавайки полученият резултат по стойността на синодичния период, получаваме времената в денонощия (времето се приема за нула, когато “Звездата на смъртта” се намира в най-източната точка на орбитата си, откъдето се отчитат и ъглите, пресметнати по-горе):

За точка 1: $t1 = 0.1026 \cdot T_{Syn} = 0^{\mathrm{d}}.01535$

За точка 2: $t2 = 0.1721 \cdot T_{Syn} = 0^{\mathrm{d}}.02574$

За точка 3: $t3 = 0.3280 \cdot T_{Syn} = 0^{\mathrm{d}}.04906$

За точка 4: $t4 = 0.3974 \cdot T_{Syn} = 0^{\mathrm{d}}.05945$

Крива на блясъка: звездна величина m (от −12.75 горе до −12.65 долу) спрямо време t [P] (0.1, 0.2, 0.3, 0.4). Плътна трапецовидна крива с точки 1 и 4 (начало и край на спада) и 2, 3 (плосък минимум); пунктирна неправилна крива между 1 и 4, показваща влиянието на лунните морета. — Фиг. 2

Разликата в звездните величини в минимум и максимум се определя от отношението на площите на Луната без площта и на Луната, засенчена от “Звездата на смъртта” :

\Delta m = -2.5 \lg\left(\frac{S_L - S_{DS}}{S_{DS}}\right) = 0^{\mathrm{m}}.075

Ако повърхността на Луната беше с равномерна отражателна способност, кривата на блясъка би следвала непрекъснатата крива. Минимумът е плосък, защото дискът на Луната като цяло, изглежда равномерно осветен от Слънцето поради особеностите в разсейването на светлината от лунната повърхност ( както е и при други планети ).

Обаче повърхността на Луната не отразява еднакво във всички точки. Има големи области от лунната повърхност, наречени “морета” и “океани”, чието албедо е почти два пъти по малко от средното албедо на Луната. Когато “Звездата на смъртта” преминава над Окена на бурите и на Морето на спокойствието, който са разположени около екватора на Луната, тя засенчва по слабо отразяваща повърхност и затова спира съществено по-малко светлина, отколкото когато е над някоя по-светла, континентална област на Луната. Затова кривата на блясъка би била неправилна и с по-малка звездна величина, т.е. по-ярка, отколкото при равномерно “отразяваща” Луна. Кривата на блясъка, при която е отчетен ( приблизително), този ефект е построена с точки, върху другата крива на блясъка.

Справочни данни

Орбитален период на Луната – $27^{\mathrm{d}}.32$

Маса на Луната – $7.35\times10^{22}\ \mathrm{kg}$

Радиус на Луната – $1738\ \mathrm{km}$

Гравитационна константа – $6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N.m^{2}.kg^{-2}}$

Звездна величина на Луната в пълнолуние – $-12.74^{\mathrm{m}}$

Оригинал в Архива: NOA4_2014_STproblems.pdf · официални решения: NOA4_2014_STsolutions.pdf