НОА 2014, IV кръг, Старша възраст — Задача 4. Звезди по еклиптиката

• • 0.001 mag

  $\Delta m = 2.5 \lg(1 + z)$ при $z = v/c = 0{,}001$; в решението е отпечатано $\Delta m = 0{,}001^{m}$.

Решение:

Поради движението на Земята около Слънцето, планетата ни променя посоката си на движение, относно далечните звезди с период точно една година. Следователно, с такъв период се променят лъчевите скорости на звездите, относно земния наблюдател.

Ще считаме, че Земята се движи по кръгова орбита с постоянна скорост V=30km/s.

Това е амплитудата на лъчевата скорост на Земята, относно звездите, които са разположени в равнината на еклиптиката. Следователно, максималното червено преместване, което те имат тези звезди за земен наблюдател е:

Стойността на това червено отместване в спектъра на една звезда, разположена на еклиптиката, ще се променя с такава амплитуда и период равен на периода на изменение на лъчевата скорост. т.е една година.

Ако означим с $\nu_0$ истинската честотата на един фотон (в отправна система в която източникът му е неподвижен), а $\nu$ е наблюдаваната му честота в отправна система, спрямо която източникът има някаква лъчева скорост v, то:

Откъдето:

Известно е, че връзката между честотата и енергията на един фотон се дава с равенството:

където h е константата на Планк.

Това, означава, че вследствие на червеното отместване наблюдаваната енергия на всеки един фотон, отслабва (1+z) пъти, спрямо енергията, която бихме регистрирали, ако бяхме неподвижни, спрямо източника му. Болометричната осветеност, която един източник създава е равна на сумата на всички фотони, които приемаме от него за единица време. При наличието на червено отместване сумарният брой фотони се запазва, но енергията на всеки един от тях намалява (1+z) пъти. Следователно, толкова намалява и сумарната осветеност от източника.

Промяната в звездната величина (Δm), дължаща се на този ефект можем да пресметнем, използвайки закона на Погсон, записан по следния начин:

Получихме, че в случая за Земята z=0,001, откъдето пресмятаме, че: