Съдържание

НОА 2015, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 5. Тъмна материя

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2015

XVIII Национална олимпиада по астрономия 2015, II кръг, ученици от 11-12 клас · 20 февруари 2015 г. · 12 т.

Условие

Звездите и облаците от междузвезден газ и прах в една галактика се движат около нейния център с различни скорости, които се определят от гравитационното въздействие на веществото в галактиката. Изследванията показват, че освен познатото ни засега вещество под формата на звезди и мъглявини от космически газ и прах, в галактиките присъства невидимо вещество, което астрономите наричат тъмно вещество. По спектрални наблюдения на спиралната галактика NGC 3198 са получени данни за скоростите на движение на различни обекти от нея относно нейния галактичен център. На графиката е представена кривата на изменение на тези скорости с разстоянието до центъра на галактиката (крива 1). Теоретично е пресметнато също как би изглеждала графиката, ако в галактиката имаше само обекти, които се наблюдават – звезди и облаци от газ и прах (крива 2).

Крива на въртене на спиралната галактика NGC 3198: скорост (km/sec) спрямо разстояние от центъра (kpc); крива 1 – наблюдавана, крива 2 – теоретично пресметната само за светещото вещество. 1 kpc = 3.26 × 10³ светлинни години.

А Определете отношението на масата на светещото вещество към масата на тъмното вещество, съдържащи се в рамките на видимите граници на галактиката.

Б Отговорете качествено дали отношението на масата на светещото вещество към масата на тъмното вещество намалява или нараства с разстоянието от центъра на галактиката. Обосновете своя отговор.

Отговори

Решение

Измерваме по скалата за скоростта върху графиката и определяме мащаба – на 85 мм отговарят 200 км/сек. След това измерваме отсечките, съответстващи на скоростите $v_1$ и $v_2$ , които се отнасят за обекти в периферията на галактиката, на 30 кпс от центъра. Получаваме:

v_1 = 200\ \text{км/сек.} \times 63\ \text{мм} / 85\ \text{мм} \approx 148\ \text{км/сек.}

v_2 = 200\ \text{км/сек.} \times 29\ \text{мм} / 85\ \text{мм} \approx 68\ \text{км/сек.}

Кривата на въртене на NGC 3198 с построени отсечки V₁ (наблюдавана скорост) и V₂ (теоретична скорост) на 30 kpc от центъра.

Приемаме, че определените скорости са скорости на кръгово движение на звездите около галактичния център. Да означим с $M_L$ масата ва „светещото” вещество – звезди, газ и прах – в рамките на видимите граници на галактиката, а с $M_D$ – масата на тъмното вещество. Радиуса на видимата част от Галактиката означаваме с $r$ . Тогава:

v_1 = (\gamma(M_L + M_D)/r)^{1/2}

v_2 = (\gamma M_L / r)^{1/2}

Оттук получаваме:

M_D / M_L = v_1^2 / v_2^2 - 1

M_D / M_L \approx 3.\,7 \quad \text{или} \quad M_L / M_D \approx 0.27

Светещото, или познатото ни вещество във вид на зведи, газ и прах, е около 3.7 пъти по-малко от тъмната материя във Вселената.

Върху графиката можем да видим, че с отдалечаване от центъра на галактиката отначало двете криви на изменение на скоростите почти съвпадат, но от дадено разстояние нататък все повече се различават. Теоретично пресметнатата скорост на движение под въздействие само на светещото вещество постепенно намалява, а скоростта на обектите, характеризираща движението под въздействие на светещото вещество и на тъмната материя, остава почти постоянна. Следователно с отдалечаване от центъра на галактиката отношението на светещото вещество към тъмното вещество намалява – количеството на тъмното вещество започва да преобладава все повече в сравнение със светещото вещество.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За измервания върху графиката и определяне на скоростите – 2 т.

Забележка: Тъй като в крайната формула фигурира само отношението на скоростите, тяхното определяне в км/сек. фактически не е неолходимо и може да се работи с отношението на скоростите в милиметри, измерени върху графиката. Ако някои участници в олимпиадата са постъпили така, то решениеето им е правилно и не следва да им се отнемат точки. В условието на задачата не се иска изрично да се определят скоростите в км/сек.

За правилна теоретична постановка на решението за отношението на светещтото към тъмното вещество и извеждане на формули – 5 т.

За правилен числен резултат – 1 т.

За описание как се изменя съотношението на светещото към тъмното вещество с разстоянието до центъра на галактиката – 4 т.

Оригинал в Архива: NOA2_2015_11-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2015_11-12solutions.pdf