НОА 2015, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 3. Луна над хоризонта

• А Двете околополярни области, ограничени от паралелите, отстоящи на приблизително 4.8° от полюсите (т.е. с планетографска ширина над 85.2° в двете полукълба).

  $\sin\alpha'' = (R_P - R_S)/r = (1 - 1/6)/10 = 1/12$, откъдето $\alpha'' \approx 4.8°$.

• Б 4.8 °

• В Най-продължителни са интервалите за точките от екватора; с повишаване на планетографската ширина те се съкращават, докато станат равни на нула на ширина ± (90° – 4.8°) = ± 85.2°.

Да означим с $R_P$ и $R_S$ радиусите на планетата и спътника, а с $r$ разстоянието между тях. За да определим областта върху планетата, откъдето никоя точка от спътника не се вижда, построяваме допирателната Q'Q" към повърхностите на двете тела (Фиг. 2).

Фиг. 2.

В областта около полюса Р на планетата, ограничена от паралела, на който лежи точката Q', никоя точка от спътника няма да се появява над хоризонта. Следователно в тази област пряка връзка с радиосигнали между планетата и спътника никога няма да е възможна. На планетата съществува и още една такава област със същите размери около другия й полюс. Както се вижда от чертежа, в сила е следното съотношение:

Оттук намираме:

За ъгъла $\alpha''$ можем да напишем:

Замествайки получения по-горе израз за $x$, намираме:

Като знаем, че $R_S = R_P / 6$, а $r = 10R_P$, можем да пресметнем този ъгъл:

Но $\alpha' = \alpha''$ като ъгли с взаимно перпендикулярни рамене, и това означава, че $\alpha' \approx 4.8°$. Областта, откъдето няма да може да се поддържа връзка със спътника, е ограничена от паралел, отстоящ на 4.8° от полюса на планетата. Около другия полюс има още една такава област.

Нека приемем, че оста на планетата е наклонена на ъгъл 4.8° спрямо вертикалата към равнината на нейната орбита около звездата, а следователно и спрямо вертикалата към орбиталната равнина на спътника. Тогава поне в някои интервали от време ще има видимост към част от спътника дори и от околополярните области. На Фиг.3 е показано положение на спътника, при което за момент има видимост към точка от неговата повърхност и от самия полюс на планетата Р. С увеличаване на наклона на оста на планетата ще се удължават и интервалите от време, през които жителите на околополярните райони и на самите полюси ще могат да поддържат връзка чрез лазерни сигнали със спътника. Следователно минималният наклон на оста, който се търси, е 4.8°.

Фиг. 3

При положение, че оста на планетата не е наклонена, интервалите от време, през които ще е възможна връзка със спътника, ще зависят от планетографската ширина на наблюдателя. Всъщност тези интервали ще се определят от времето, през което спътникът е над хоризонта за дадено място на планетата.

От Фиг. 4а се вижда, че за наблюдател в точка А на екватора на планетата над хоризонта ще се намира част от орбитата на спътника, която е по-малка от половината орбита. Това е съществено, тъй като спътникът се намира твърде близо до планетата и самите размери на планетата не могат да се пренебрегнат. От Фиг.4б става ясно, че ако наблюдателят се намира в точка В, която не лежи на екватора, то за него над хоризонта е още по-малка част от орбитата на спътника в сравнение със ситуацията на екватора. Този ефект ще се усилва с отдалечаване от екватора на планетата. Следователно в най-продължителни интервали от време връзката със спътника ще е възможна за точките от екватора, а с повишаване на планетографската ширина тези интервали ще се съкращават, докато станат равни на нула на ширина $\pm (90° - 4.8°) = \pm 85.2°$

Фиг. 4.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За правилно описание на областите, от които не може да се осъществява връзка със спътника – 3 т.

За определяне на ъгловото отстояние на границите на областите от полюсите – 2 т.

За правилни разсъждения и заключение относно минималния наклон на оста, при който връзки ще могат да се осъществяват отвсякъде – 4 т.

За обяснение как ще се изменят интервалите от време на видимост на спътника с промяна на планетографската ширина – 3 т.