НОА 2015, II кръг (областен), 7–8 клас — Задача 5. Съобщение до Марс
XVIII Национална олимпиада по астрономия 2015, II кръг, ученици от 7-8 клас · 20 февруари 2015 г. · 12 т.
Условие
Радиусът на земната орбита около Слънцето е равен на 150 милиона километра. Той се използва като единица мярка за разстояния в Слънчевата система и се нарича астрономическа единица (а.е.). Радиусът на орбитата на Марс е 1.5 а.е.. В марсианска изследователска база работят земни космонавти. В даден момент Марс се намира точно зад Слънцето по отношение на Земята. Тогава се налага към марсианската база да се изпрати важно съобщение. Сигналът първо се излъчва от Земята към ретранслаторна радиостанция, разположена на един астероид, а оттам веднага автоматично се предава към Марс. Орбитата на астероида е с радиус 2 а.е. и той се намира в квадратура – направлението от Земята към астероида сключва прав ъгъл с направлението от Земята към Слънцето.
А. Начертайте в подходящ мащаб орбитите на Земята, Марс и астероида около Слънцето. Отбележете взаимното разположение на планетите и астероида, описано по-горе. [6 т.]
Б. Направете необходимите измервания по вашия чертеж и определете за колко време съобщението, изпратено от Земята, ще достигне до Марс. Радиовълните се движат със скоростта на светлината, равна на 300 000 км/сек. [6 т.]
Отговори
А. Три концентрични окръжности с радиуси в отношение 1 : 1.5 : 2 (например 4 см, 6 см и 8 см); Марс е диаметрално противоположен на Земята спрямо Слънцето, а астероидът е в квадратура спрямо Земята.
Б.
≈ 40 минути; зависи от точността на измерванията върху чертежа.
Решение
Начертаваме орбитите на Земята, Марс и астероида. Използвайки дадените съотношения, нека приемем, че радиусът на земната орбита е 4 см и тогава радиусът на марсианската орбита ще бъде 4 × 1.5 = 6 см, а радиусът на орбитата на астероида ще се равнява на 4 × 2 = 8 см. Избираме някакво положение на Земята по нейната орбита. Отбелязваме положението на Марс от другата страна на Слънцето по неговата орбита и положението на астероида в квадратура – направлението от Земята към астероида сключва прав ъгъл с направлението Земя – Слънце. Начертаваме отсечката Земя – астероид и отсечката астероид – Марс. Тези две отсечки представляват пътищата на радиосигналите, чрез които съобщението от Земята достига до Марс. Измерваме двете отсечки и получаваме съответно 6.9 см и 12.2 см. Общата им дължина е 6.9 + 12.2 = 19.1 см. Като имаме предид, че според мащаба на нашата схема 4 см отговарят на 1 а.е., то пътят на сигнала от Земята до астероида ще бъде 19.1 см / 4 = 4.775 а.е.
Светлината се движи със скорост 300 000 км /сек. Една астрономическа единица е равна на 150 000 000 км. Такова разстояние се изминава от светлината за време:
Следователно съобщението от Земята до Марс през ретранслаторната радиостанция на астероида ще пътува 4.775 а.е. × 500 сек. ≈ 2388 сек. = 40 мин.
Критерии за оценяване (общо 12 т.):
За определяне на мащабите на схемата и правилно начертаване на орбитите – 3 т.
За правилно разположение на Земята, Марс и астероида върху схемата – 3 т.
За измервания и пресмятания – 5 т.
За верен краен резултат – 1 т.
Оригинал в Архива: NOA2_2015_7-8problems.pdf · официални решения: NOA2_2015_7-8solutions.pdf