НОА 2015, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 1. Космически сън

• А) Не. Пълни слънчеви затъмнения няма да има.

  Слънцето ще има $1/0.39 \approx 2.6$ пъти по-голям видим ъглов размер, а Луната остава на същото разстояние от Земята и няма да може да го закрива изцяло.

• Б) Да. Ще се наблюдават пълни лунни затъмнения.

  Видимият от Луната ъглов диаметър на Земята е $6370/1738 \approx 3.7$ пъти по-голям от предишния видим диаметър на Слънцето, а Слънцето нараства само 2.6 пъти; остава разлика $3.7-2.6=1.1$ лунни диаметъра.

Знаем, че когато от Земята наблюдаваме пълно слънчево затъмнение, видимите ъглови размери на Слънцето и Луната почти съвпадат. Меркурианската орбита е с радиус 1 / 0.39 $\approx$ 2.6 пъти по-малък от радиуса на земната орбита. При наблюдение от меркурианската орбита Слънцето ще е с 2.6 пъти по-голям ъглов размер и ако Луната остане на същото разстояние от Земята, както преди, то тя няма да може да го закрива изцяло. Пълни слънчеви затъмнение няма да има.

Нека си представим, че Земята е на старата си орбита, земните жители наблюдават пълно лунно затъмнение, а ние в същия момент се намираме на Луната. Земният радиус е 6370 / 1738 $\approx$ 3.7 пъти по-голям от лунния. Щом при наблюдение от Земята видимите ъглови диаметри на Луната и Слънцето са приблизително еднакви, то ако гледаме от Луната, видимият диаметър на Земята ще е около 3.7 пъти по-голям от този на Слънцето. Когато от Земята се наблюдава пълно лунно затъмнение, от Луната трябва да се вижда продължително пълно слънчево затъмнение. Сега нека Земята вече да се е преместила на меркурианската орбита. Гледано от Луната, Слънцето е 2.6 пъти по-голямо по видим ъглов диаметър, отколкото преди. Но за лунния наблюдател Земята пак ще може да го закрива изцяло, защото видимият й размер е 3.7 пъти по-голям от предишния видим размер на Слътнцето. Ето защо при новата орбита на Земята, от Луната ще може да се наблюдават пълни слънчеви затъмнения, макар и не толкова продължителни, както преди. А пълно слънчево затъмнение за лунния наблюдател може да настъпи, когато Луната попадне изцяло в земната сянка. Тогава земните жители ще виждат пълно лунно затъмнение. Следователно от новата орбита на Земята ще се наблюдават пълни лунни затъмнения.

Подусловие Б) може да се реши и като се използват малко по-различни съображения. Когато Слънцето огрява Луната, тя хвърля зад себе си сянка, която е с форма на конус и се стеснява с отдалечаване от Луната. Върхът на този конус почти точно достига до Земята. Това е именно защото видимите от Земята ъглови размери на Луната и Слънцето са почти еднакви. Но конусът на земната сянка се простира доста по-далеч зад лунната орбита и се наблюдават продължителни лунни затъмнения. Когато Земята се доближи до Слънцето, конусът на земната сянка ще се се стеснява по-бързо с отдалечавне от Земята. Въпросът е ще достига ли той до Луната и дали сечението на земната сянка ще е с диаметър, по-голям от диаметъра на Луната, така че Луната да се окаже напълно обхваната от земната сянка?

С преместването на меркурианската орбита ъгловите размери на Слънцето ще се увеличат 2.6 пъти. Видимите ъглови размери на Земята ще бъдат отново 3.7 пъти по-големи от предишните видими ъглови размери на Слънцето. Оттук можем да направим две заключения. Първо, очевидно от Луната ще могат да се наблюдават пълни слънчеви затъмнения – т.е. земната сянка ще достига до Луната. Второ, нека отново си припомним, че когато Земята е била на първоначалната си орбита, за земния наблюдател видимият ъглов размер на Слънцето е бил приблизително равен на видимия ъглов размер на Луната. Следователно при новото положение за лунния наблюдател видимият ъглов диаметър на Земята ще бъде по-голям от видимия ъглов диаметър на Слънцето с величина, равна на 3.7 – 2.6 = 1.1 видими ъглови лунни диаметъра. Това означава, че за да излезе от зоната на лунно затъмнение, Луната трябва да се придвижи по своята орбита на разстояние 1 свой лунен диаметър и още 0.1 от него. Така че, поне за кратко цялата Луна ще бъде потопена в земната сянка и от Земята ще може да се наблюдава пълно лунно затъмнение.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За правилни разсъждения по подусловие А) – 5 т.

За правилно заключение – 2 т.

За правилни разсъждения по подусловие Б) – 6 т.

За правилно заключение – 2 т.