НОА 2015, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 1. В чест на Галилей

• А) $\Delta v = v_1 - v \approx 5.3\ \text{mm/sec}$

  Скоростта е насочена на запад – в посока, обратна на въртенето на Луната.

• Б) $\Delta v' = \Delta v\,\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 3.7\ \text{mm/sec}$

  Отново насочена на запад.

Ако чукът не се беше ударил в нищо и беше падал без да има хоризонтална скорост относно платформата, той нямаше да падне в точката от лунната повърхност, която е точно вертикално под точката, от която е бил изпуснат. Да пресметнем линейната скорост на точка от повърхността на лунния екватор. Периодът на околоосно въртене на Луната е равен на сидеричния лунен месец T. Радиусът на Луната е R. Тогава скоростта на точка от екватора е:

Реактивната платформа неподвижно „виси“ над една и съща точка от лунния екватор на височина H. Следователно за един сидеричен лунен месец тя описва окръжност с радиус R + H и се движи с малко по-голяма скорост, която е:

Разликата между двете скорости е:

С тази скорост чукът би изпреварвал в източна посока точките от лунната повърхност по време на падането. Скоростта може да изглежда съвсем нищожна, но времето за падане на чука от височина 2 км е:

Ако чукът не се беше ударил в платформата, щеше да падне в точка от лунната повърхност, отклонена на изток от точката вертикално под мястото, откъдето е бил изпуснат и отклонението би било $t\Delta v \approx 26$ см. За да не се получи това отклонение, хоризонталната скорост на чука трябва да е била насочена на запад – в посока обратна на въртенето на Луната.

На селенографка ширина 45° разликата между линейните скорости на летящата платформа и лунната повърхност би била:

На тази разлика трябва да е равна и хоризонталната скорост на чука и да е насочена на запад.

Ако трябва да сме много точни, необходимо е да отбележим и още нещо. Нека отново си представим, че чукът пада свободно без да се удря в платформата. Да приемем, че сме в северното лунно полукълбо. Тогава той ще тръгне по елиптична траектория, лежаща в равнина, която пресича центъра на Земята. Равнината на тази траектория ще сключва ъгъл 45° с плоскостта на съответния селенографски паралел. Следователно отклонението на чука няма да е точно на изток, а ще има много леко изместване на юг. Това не значи, обаче, че за да компенсираме отклонението на чука, трябва да му придаваме хоризонтална скорост с малка северна компонента. Точката на изпускане на чука представлява апогея на тази елиптична орбита. В него скоростта е точно в направление изток, а отклонението на юг започва в следващия момент от движението на чука.

Критерии за оценяване (общо 14 т.):

За верни разсъждения за характера на движението на чука на екватора – 4 т.
За алгебрично пресмятане на скоростта – 4 т.
За правилен числен отговор за скоростта – 1 т.
За определяне на посоката на скоростта – 1 т.
За правилен метод за определяне на големината и посоката на скоростта на ширина 45° - 3 т.
За верен числен отговор – 1 т.
За разсъждения относно траекторията на чука на ширина 45° - добълнителни точки за награда.