НОА 2015, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 4. Частичено лунно затъмнение

• А) Построението се прави с прозрачното фолио: за всяко положение на Луната кръгът се напасва към лунния диск и се отбелязва центърът на сянката; получените точки лежат на права, която не е успоредна на линията на движение на Луната.
• Б) $\omega = \frac{7.8^{\circ}}{0.575^{h}} \approx 13.6^{\circ}/\text{час}$

За всяко положение на Луната нагласяме прозрачното листче така, че кръгът да съответства на положението на земната сянка. С помощта на острието на пергела отбелязмаве центъра на сянката. Така получаваме поредица от точки, през които прекарваме права линия. Виждаме, че тя не е успоредна на линията на движение на Луната. Положението на центъра на земната сянка е диаметрално противоположно на положението на Слънцето върху небесната сфера. Ходът на слънчевото време, което използваме, се определя от видимото денонощно движение на Слънцето по небето. Това движение напълно съответства на видимото движение на центъра на земната сянка. Следователно движението на центъра на земната сянка може да ни послужи за измерване на времето.

Избираме две положения на центъра на земната сянка, намиращи се към двата края на правата линия, и измерваме разстоянието между тях. Получаваме 172.5 мм. Измерваме разстоянието между съотвените положения на Луната. За целта не е удобно да използваме центровете на лунния диск, а по-добре е да измерим разстоянието между пресечните точки примерно на долния край на лунния диск с правата линия, очертаваща движението на Луната. Получаваме 156.5 мм.

Измерваме диаметъра на Луната, който се оказва 10 мм. Като знаем, че той е равен на 0.5°, намираме мащаба на снимката – на 20 мм отговаря 1°. Така определяме, че между двата разглеждани от нас момента центърът на земната сянка е изминал 8.6° по небето, а центърът на Луната – 7.8°. Видимото денонощно движение на земната сянка, а значи и на Слънцето, става от изток на запад. Причината Луната да изостава от него е, че Луната извършва орбитално движение около Земята от запад на изток.

Времето, изминало между двата избрани от нас момента можем да определим по движението на земната сянка със следната пропорция:

За същото време Луната е изминала 7.8° и нейната скорост на видимо денонощно движение по небето е:

Като използваме тази скорост, можем да пресметнем с колко градуса Луната изостава от Слънцето за денонощие. Скоростта на видимото денонощно движение на Слънцето е 15°/час. Следователно за един час Луната изостава от Слънцето с $15^{\circ} - 13.6^{\circ} = 1.4^{\circ}$. За едно денонощие изоставането ще бъде $1.4^{\circ}\times 24^{h} = 33.6^{\circ}$. Това е твърде висока стойност. Действителната величина е около 12.2°/час. Нашият резултат показва, че снимката не представлява насложени кадри с действителни положения на Луната по небето, а заснетите положения на Луната са подредени върху кадъра на около три пъти по-малко разстояние един от друг с цел постигане на по-впечатляващ ефект.

Критерии за оценяване (общо 12 т.)

За построяване на изображенията на земната сянка – 3 т.
За правилна теоретична постановка на решението – 4 т.
За измервания и определяне на мащабите – 3 т.
За пресмятания и краен резултат – 2 т.