НОА 2015, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 5. Близка звезда

• А) $\mu = \sqrt{\Delta\alpha^{2} + \Delta\delta^{2}} \approx 0.4''$

• Б) $p \approx 0.096''$, откъдето $r = 1/p \approx 10.4$ pc.

  Паралаксът се отчита от амплитудата на вълничките в графиката за ректасцензията.

• В) $v = \sqrt{v_r^{2} + v_{\tau}^{2}} \approx 32.7\ \text{km/sec}$

  Тангенциалната скорост е $v_{\tau} \approx 19.8$ km/sec.

• Г) Прекъсванията съответстват приблизително на едно и също време от годината при всеки цикъл – през периодите, когато звездата е достатъчно близо до Слънцето и е над хоризонта предимно през деня, тя не може да бъде фотографирана.

На графиките се вижда как върху измененията на ректасцензията и деклинацията на звездата, породени от собственото ѝ движение в пространството, са наложени паралактичните отмествания, които са периодични – с период една година. За да получим по-точно собственото движение по ректасцензия, избираме примерно 6-те най-добре очертани вълнички по горната графика. Можем да определим разликата между ректасцензиите при първия и при последния “пик”. После правим същото и с първата и последната “долина”. След това намираме средното аритметично на тези две разлики. Получаваме $0.07''$ за 6 години. Следователно изменението на ректасцензията на звездата е $\Delta\delta = 0.07''/6 \approx 0.0117''$ за година.

По подобен начин от долната графика определяме, че изменението на деклинацията за една година е $0.4''$.

Общото отместване на звездата за една година можем да определим с помощта на Питагоровата теорема:

И без това пресмятане можехме да преценим, че отместването по ректасцензия е много малко в сравнение с отместването по деклинация и дори няма нужда да се отчита.

За да определим паралакса на звездата, трябва да обърнем внимание на амплитудата на вълничките, описвани от звездата. Те се дължат на видимото ѝ паралактично отместване в резултат от орбиталното движение на Земята. От скалата на времето наистина можем да се убедим, че периодът на тези вълни е една година.

По графиката за деклинацията на звездата трудно ще определим амплитудата на вълничките, поради малкия мащаб. Но нека обърнем внимание на координатите на Големия Магеланов облак. Виждаме, че той е много близо до южния еклиптичен полюс, които са $\alpha = 6^{h}$, $\delta = -66° 26'$. Следователно ако премахнем ефекта от собственото движение, при паралактичното си отместване тази звезда ще описва затворена крива, много близка до окръжност. Това означава, че и по ректасцензия и по деклинация амплитудата на паралактичните отмествания ще е почти еднаква. Можем да я определим от графиката за ректасцензията.

Можем например да вземем средното отместване от нулата за нашите 6 пика на вълната и средното отместване на шестте долини. Средното аритметично между тези две стойности ще даде паралакса на звездата. Така получаваме $p \approx 0.096''$ .

Разстоянието до звездата ще бъде:

За да намерим пълната пространствена скорост на звездата, трябва да превърнем собственото движение $\mu$ от дъгови секунди за година в километри за секунда. Това е т.нар. тангенциална скорост на звездата $v_{\tau}$ . Щом звездата е отдалечена на 10.4 pc, то линейното отместване, което ние виждаме от Земята под ъгъл $1''$, на разстоянието до звездата ще се равнява на 10.4 AU. Следователно за една година звездата се премества перпендикулярно на нашия лъч на зрение на разстояние $10.4\mu$ астрономически единици. Тангенциалната скорост на звездата ще бъде:

За да намерим пълната пространствена скорост, използваме Питагоровата теорема:

където $v_r$ е лъчевата скорост. Накрая получаваме:

Както се вижда от графиките, прекъсванията в данните съответстват приблизително на едно и също време от годината при всеки цикъл. Причината е, че звездата не винаги може да се наблюдава. През периодите, когато тя е достатъчно близо до Слънцето и е над хоризонта предимно през деня, няма как да бъде фотографирана и изследвана.

Кретерии за оценяване (общо 13 т.):

За правилен теоретичен начин на определяне на собственото движение – 1.5 т.
За измервания и изчисления – 1.5 т.
За числен резултат – 1 т.
За правилен теоретичен начи на определяне на паралакса – 1.5 т.
За измервания и изчисления и пресмятане на паралакса – 1.5 т.
За пресмятане на разстоянието – 1 т.
За определяне на тангенциалната скорост – 2 т.
За определяне на пространствената скорост – 2 т.
За обяснение на прекъсванията в данните – 1 т.