Съдържание

НОА 2015, IV кръг, Старша възраст — Задача 1. Двойна звезда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2015

XVIII Национална олимпиада по астрономия, IV кръг, 12 юли 2015 г., х. Бузлуджа, теоретичен тур, старша възраст · 12 юли 2015 г. · 18 т.

Внимание: Бележка към темата

В архивния PDF с решенията са отпечатани решения само на задача 1 и задача 2. За задачи 3, 4 и 5 са възпроизведени единствено условията — решения и критерии за оценка липсват. Липсва и чертежът, на който се позовава решението на задача 2.

Условие

Задача 1. Двойна звезда. Авторитетният астроном Стефан Иванов посвещава 60-годишната си професионална кариера в изследване на двойна звезда, съставена от компоненти, чиито видими звездни величини са $3^m$ и $8^m$ . Чрез прецизни и системни наблюдения той определя, че видимото ъглово отстояние между тях се изменя от $1''$ до $5''$ с период 50 години. Лъчевата скорост на слабата компонента спрямо Слънцето се изменя с амплитуда $\pm 5$ km/s, а на ярката - с амплитуда $\pm 1$ km/s.

• Считайки двете орбити за кръгови, намерете масите и светимостите на двете звезди.

• Какво би трябвало да е компетентното мнение на знаменития астроном за техните физически характеристики?

Отговори

Решение

Решение:

А) Нека да означим с $V_1$ и $V_2$ наблюдаваните амплитуди на лъчевите скорости.

По условие орбитите на двете звезди около общия център на масите са кръгови. При това положение, ако лъчът на зрение лежеше точно в орбиталната равнина, то би трябвало минималното раздалечаване между тях да е 0, а максималното – равно на радиуса на относителната орбита. От това, че минималното разстояние $\theta_{min}$ между тях не е 0, можем а заключим, лъчът на зрение сключва с орбиталната равнина някакъв ъгъл $\alpha$ . Означаваме максималното видимо раздалечаване с $\theta_{max}$ .

Следователно:

\sin(\alpha) = \frac{\theta_{min}}{\theta_{max}} = \frac{1}{5}

От тук намираме, че $\alpha \approx 11{,}5^\circ$ .

От тук можем да намерим големините на орбиталните скорости на двете компоненти са:

u_1 = \frac{V_1}{\cos(\alpha)} \approx 1{,}02\ km/s \quad \text{и} \quad u_2 = \frac{V_2}{\cos(\alpha)} \approx 5{,}10\ km/s.

Относителната орбитална скорост е u=6,12 km/s

Казано е, че периодът с който видимото разстояние между звездите е 50 години. Следователно, можем да заключим, че орбиталният период на системата е Т=100г, защото в рамките на един период имаме две максимални сближавания и раздалечавания.

От тук можем да намерим, че радуисът на относителната орбита е:

a = \frac{u.T}{2\pi} = 20{,}5\ AU.

Използвайки третия закон на Кеплер, намираме пълната маса на системата:

M = \frac{a_{[AU]}^{3}}{T_{[\text{г}]}^{2}} = 0{.}9\,M_{SUN}

Орбиталните скорости се отнасят както 1:5. Това означава, че така трябва да се отнасят и масите на звездите, като по-леката компонента има по-голяма орбитална скорост. Използвайки горното съображение и вече намерената сумарна маса на системата, пресмятаме, че масите на звездите са:

M_1 = 0{.}75\,M_{SUN} \quad \text{и} \quad M_2 = 0{.}15\,M_{SUN}

Най-голямото видимо раздалечаване на звездите съответства на ъгъла под който се вижда диаметъра на относителната им орбита, който е равен на 2.a=41 AU.

За разстоянието до системата можем да запишем:

r[pc] = \frac{a[AU]}{\theta_{max}['']} = 4{.}1\ pc

Ако означим с $m_1$ и $m_2$ видимите звездни величини на двете компоненти, то абсолютните им звездни велични са:

M_1 = m_1 - 5\lg(r[pc]) + 5 \approx 4{,}93^m \quad \text{и} \quad M_2 = m_2 - 5\lg(r[pc]) + 5 \approx 9{,}93^m.

Имайки предвид, че абсолютната звездна величина на Слънцето е $4{.}8^m$ , можем да направим извода, че по-ярката компонента има светимост равна на прибизително 0.8 слънчеви светимости, а светимостта на по-слабата е около 1% от тази на Слънцето.

Б) Можем да допуснем, че и двете звезди принадлежат на Главната последователност. Ако това е вярно, то по-масивната компонента е звезда, която е малко по-хладна и маломасивна от Слънцето. Вероятно тя принадлежи към спектрален клас К. По-маломасивната звезда има маса и светимост, които са типични за хладно червено джудже от спектрален клас М.

Критерии за оценка (18т.):

А) -За съобразяване на наклона на лъча на зрение към орбиталната равнина – 3т.

За намиране на ъгъла под който гледаме системата – 1т.
За намиране на истинските орбитални скорости – 2т.
За съобразяване на периода – 1т.
За изчисляване на масата на системата и индивидуалните маси – 3т.
За пресмятане на разстоянието до системата – 2т.
За намиране абсолютните звездни величини и светимостите - 3т.

Б) – Адекватен коментар за физическите характеристики на звездите – 3т.

Оригинал в Архива: NOA4_2015_STproblems.pdf · официални решения: NOA4_2015_STsolutions.pdf