Съдържание

НОА 2016, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 3. Пасаж на планета

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2016

XIX Национална олимпиада по астрономия 2016, областен кръг, възрастова група IX-X клас · 26 февруари 2016 г. · 15 т.

Условие

На 9 май 2016 г. ще се наблюдава рядко явление – преминаване (пасаж) на планетата Меркурий пред видимия диск на Слънцето.

А Дадена ви е рисунка на пасаж на Меркурий, който се е наблюдавал в XIX век. Направете необходимите измервания и отговорете правилно ли е представено явлението по отношение на видимите ъглови размери на Меркурий и Слънцето.

Б Понякога наблюдаваме и още по-рядко явление – пасаж на Венера по диска на Слънцето. Пресметнете с колко процента намалява видимият блясък на Слънцето по време на такъв пасаж.

В Да си представим, че извънземни астрономи изследват Слънцето от светлинни години разстояние. Планетата им се намира в равнината на орбитата на Венера и за тях също се случва Венера да премине пред диска на Слънцето. Но в техните телескопи Слънцето се вижда само като точка и по време на пасажа видимият му блясък претърпява съвсем леко намаление. По подобен начин с помощта на нашия космически телескоп “Кеплер” бяха открити над 1000 планети около други звезди. Нека приемем, че точността на фотометричните наблюдения на извънземните астрономи е същата като на „Кеплер”, т.е. може да се измерва изменение на блясъка с точност 0.01% от блясъка на наблюдаваната звезда. Ше успеят ли те да открият Венера, по време на нейния пасаж по диска на Слънцето?

Радиусите на Слънцето, Венера и Меркурий са съответно 696000 км, 6052 км и 2440 км. Разстоянията от Слънцето до Меркурий, Венера и Земята са съответно 57.91 млн км, 108.2 млн км и 149.6 млн км.

Цветна гравюра: голям слънчев диск ниско над морето с малка тъмна точка (Меркурий) върху него; на преден план лодка и кораби.

Отговори

Решение

Решение:

Да означим с $R_S$ , $R_M$ и $R_V$ радиусите на Слънцето, Меркурий и Венера, с $\delta_S$ , $\delta_M$ , $\delta_V$ – видимите ъглови диаметри на трите тела, а с $r_M$ , $r_V$ и $r_T$ – радиусите на орбитите на Мелкурий, Венера и Земята. За земния наблюдател видимият ъглов диаметър на Слънцето и видимите ъглови диаметри на Меркурий и Венера по време на техните пасажи по слънчевия диск ще бъдат съответно:

\delta_S = \frac{2R_S}{r_T}\qquad \delta_M = \frac{2R_M}{r_T - r_M}\qquad \delta_V = \frac{2R_V}{r_T - r_V}

Да пресметнем колко пъти видимият ъглов диаметър на Слънцето е по-голям от видимия ъглов диаметър на Меркурий по време на пасаж на тази планета по видимия слънчев диск:

n_M = \frac{\delta_S}{\delta_M} \approx 175

Ако измерим диаметрите на Слънцето и на Меркурий върху дадената ни стара рисунка, лесно ще се убедим, че те са в отношение приблизително 34 : 1. Следователно явлението не е представено правилно на тази рисунка.

Да оценим намалението на блясъка на Слънцето при пасаж на Венера. За целта ще сравним площите на видимите ъглови дискове на двете тела. Определяме отношението на блясъка на Слънцето по време на пасажа на Венера към блясъка на Слънцето, когато няма пасаж:

N_V = \frac{\dfrac{\pi\delta_S{}^2}{4} - \dfrac{\pi\delta_V{}^2}{4}}{\dfrac{\pi\delta_S{}^2}{4}} = \frac{\delta_S{}^2 - \delta_V{}^2}{\delta_S{}^2}

Намалението на блясъка на Слънцето ще бъде:

(1 - N_V)\cdot 100\% \approx 0.1\%

Бихме могли да направим извода, че точността на регистриране на блясъка на звездите, характерна за телескопа „Кеплер”, ще бъде достатъчна за откриването на Венера от астрономите на далечната екзопланета. Но при наблюдение на пасаж на Венера от Земата разстоянията от нашата планета до Венера и до Слънцето са доста различни и това съществено влияе на техните видими ъглови размери. При наблюдение на такова явление от далечна екзопланета обаче, разликата в разстоянията до Венера и до Слънцето е нищожна в сравнение със светлинните години, на които екзопланетата се намира от нас. Нека означим разстоянието до екзопланетата с $r'$ и да намерим отношението на видимия блясък на Слънцето по време на пасажа и блясъка на Слънцето, когато няма пасаж:

N'_V = \frac{\dfrac{\pi}{4}\cdot\left(\dfrac{2R_S}{r'}\right)^2 - \dfrac{\pi}{4}\cdot\left(\dfrac{2R_V}{r'}\right)^2}{\dfrac{\pi}{4}\cdot\left(\dfrac{2R_S}{r'}\right)^2} = \frac{R_S{}^2 - R_V{}^2}{R_S{}^2}

Намалението на блясъка на Слънцето в този случай ще бъде:

(1 - N'_V)\cdot 100\% \approx 0.0076\%

Оттук следва, че извънземните астрономи няма да могат да открият планетата Венера, ако разполагат с наблюдателен инструмент, аналогичен на космическия телескоп „Кеплер”.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За определяне на ъгловите размери на Слънцето и Меркурий и сравнение – 4 т.
За измерване то рисунката – 1 т.
За извод относно правилното изобразяване на рисунката – 1 т.
За правилен теоретичен метод за определяне на намалението на блясъка при пасаж на Венера – 4 т.
За правилен числен отговор – 1 т.
За правилен начин за определяне на намалението на блясъка при пасаж, наблюдаван от екзопланета – 2 т.
За верен числен отговор и извод относно възможността Венера да бъде открита от извънземните астрономи – 2 т.

Оригинал в Архива: NOA2_2016_9-10problems.pdf · официални решения: NOA2_2016_9-10solutions.pdf