Съдържание

НОА 2016, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 1. Междузвездна мисия

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2016

XIX Национална олимпиада по астрономия 2016, областен кръг, възрастова група IX-X клас · 26 февруари 2016 г. · 15 т.

Условие

Най-близката до нас звезда е Проксима от съзвездието Центавър. На 26 февруари 2066 г. към нея е изпратена междузвездна космическа сонда. Чрез йонни двигатели сондата се ускорява до 20000 км/с. Тя няма за цел да влиза в орбита около звездата, а само да прелети на сравнително малко разстояние от нея, да събере информация и да я изпрати чрез радиосигнали до Земята.

Поради технически проблем, при предаването на информацията от сондата антената й се насочва не към Земята, а към двойната система Алфа Центавър АВ. Но там се намира космическа станция на колегиално настроени извънземни астрономи. Те веднага препращат сигнала на нашата сонда към Земята. Кога ще получим този сигнал?

Алфа Центавър АВ отстои на 15000 астрономически единици от Проксима. Една астрономическа единица (средното разстояние от Земята до Слънцето) се изминава от светлината за 500 секунди. На схемата разстоянията са в светлини години (ly).

Схема: Слънце с облак на Оорт вляво, вдясно – Алфа Центавър АВ на 4.366 ly и Проксима Центавър на 4.243 ly, с ъгъл 2° 11′ 06″ между двете направления.

Отговори

Решение

Схема на Слънцето, Проксима Центавър и Алфа Центавър AB с разстояния 4.366 ly, 4.243 ly и 2°11'06'.

Решение:

От Алфа Центавър АВ до нас светлината ще пътува $t_3$ = 4.366 години.

От Проксима до Алфа Центавър АВ разстоянието е $r_2$ = 15000 астрономически единици, всяка една от които светлината изминава за $\Delta t$ = 500 секунди. Следователно времето за пътуване на сигнала на сондата е:

t_2 = r_2 \cdot \Delta t = 7500000^{s} = 2083.33(3)^{h} = 86^{d}.8055(5) = 86^{d}\,19^{h}\,20^{m} \approx 0.23766\ \text{год.}

Остава да намерим за колко време сондата е стигнала до Проксима. Това можем да пресметнем по различни начини, като използваме знанието си за стойностите на различни величини и константи. В резултат ще получим различни дати на пристигане на сигнала.

Разстоянието от Слънцето до Проксима е 4.243 ly. Светлината изминава това разстояние за 4.243 години време. Сондата се движи със скорост 20000 км/с, а светлината – със скорост 300000 км/сек. Това означава, че сондата се движи 300000/20000 = 15 пъти по-бавно от светлината. Следователно сондата ще измине разстоянието за $4.243 \times 15 = 63.645$ години.

Общото време, от тръгването на сондата до получаване на сигнала е:

t = t_1 + t_2 + t_3 = 68.24866\ \text{год.} \approx 68^{y}90^{d}20^{h}

За пресмятане на броя на годините използваме юлианската година, която е равна на 365.25 денонощия. По този начин отчитаме наличието на 1 допълнително денонощие на всеки 4 години, т.е. високосните години. Дата, пресметната от получената стойност за интервала от време, ще бъде 27 май 2134 год. Обаче трябва да имаме предвид, че 2100 година не е високосна. Следователно датата на пристигане на сигнала, при приетите стойности на константите, е 28 май 2134 год.

Това е най-краткият начин на пресмятане. Ще посочим и някои други.

Знаем, че един парсек е равен на 206265 AU. Освен това 1pc = 3.26 ly. Следователно разстоянието до Проксима е $r_1$ = 1.3015 pc = 268460.85 AU $\approx$ 268461 AU. Скоростта на светлината е 300000 km/s. Тогава за големината на една астрономическа единица получаваме: $r_0$ = 150000000 km. Това разстояние сондата изминава за време:

t_s = \frac{r_0}{v_s} = \frac{150000000}{20000} = 7500^{s}

Следователно времето, за което сондата ще достигне до Проксима, е:

t_1 = r_1\left[AU\right]\cdot t_s = 268461\ AU \times 7500^{s} = 2013457500^{s} = 63.80238\ \text{години.}

Тогава общото време, от тръгването на сондата до получаване на сигнала е:

t = t_1 + t_2 + t_3 = 68.4060\ \text{год.} \approx 68^{y}148^{d}7^{h}

Така за датата на получаване на сигнала намираме 24 юли 2134 год., или с отчитане на факта, че 2100 година не е високосна, 25 юли 2134 год.

Вместо скоростта на светлината като известна константа може да се използва големината на една астрономическа единица 1 AU = 149600000 km. Тогава за разстоянието до Проксима получаваме:

r_1 = 268460.85\ AU \times 149600000\ km = 4.0161743\times10^{13}\ km

Времето за което сондата изминава това разстояние е:

t_1 = \frac{r_1}{v_s} = 2008087158^{s} = 63.6324\ \text{години}

И тук за пресмятане на броя на годините използваме стойността на юлианската година, равна на 365.25 денонощия, като по този начин включваме по една високосна година на всеки 4 години.

Използваме получената за $t_1$ стойност и за сумата от трите времена намираме:

t = t_1 + t_2 + t_3 = 68.2361\ \text{год.} \approx 68^{y}\ 86^{d}\ 6^{h}

Пресмятаме датата, тръгвайки от 26 февруари 2066 г., и получаваме 23 май 2134 г. Но отчитайки, че 2100 г. не е високосна, окончателно получаваме 24 май 2134 г.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За правилно съображение относно веремето, за което сигналът пристига от Алфа Центавър АВ до Земята – 1 т.
За правилен начин за пресмятане на времето за пътуване на сигнала от Проксима до Алфа Центавър АВ – 4 т.
За верен числен резултат – 1 т.
За правилен начин на пресмятане на времето, за което сондата стига до Проксима – 5 т.
За правилен числен резултат – 1 т.
За определяне на датата на пристигането на сигнала на Земята – 3 т.

Оригинал в Архива: NOA2_2016_9-10problems.pdf · официални решения: NOA2_2016_9-10solutions.pdf