Съдържание

НОА 2016, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4. Екзопланетата COROT 7b

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2016

XIX Национална олимпиада по астрономия 2016, национален кръг, възрастова група XI-XII клас · 7 май 2016 г. · 13 т.

Условие

COROT 7b е една от първите открити екзопланети, които имат размери, съпоставими с тези на Земята. Намира се в съзвездието Еднорог, на разстояние 500 ly от Земята. Планетата обикаля по кръгова орбита около звездата COROT-7, която принадлежи на Главната последователност и спектралният й клас е G9V (температура 5 250K). Видимата звездна величина на звездата е $11.67^\mathrm{m}$ .

Планетата COROT 7b е открита с космическия телескоп COROT, изстрелян съвместно от френската космическа агенция (CNES) и Европейската космическа агенция (ESA). На Фиг. 1. е дадена кривата на блясъка на звездата по време на пасаж (преминаване) на планетата пред диска на звездата. Можем да считаме, че зрителният лъч лежи точно в орбиталната равнина на планетата. По ординатната ос е нанесен относителен светлинният поток, а не звездна величина. Той се приема за равен на 1.0000 извън времето на пасажа на планетата.

Фиг. 1. Крива на блясъка на звездата COROT-7 по време на пасаж на планетата: относителен светлинен поток в зависимост от времето в часове.

С помощта на спектрографа HARPS, монтиран на 3.6-метровия телескоп в Южноевропейската обсерватория в Чили е получено изменението на лъчевата скорост на звездата COROT-7. В таблицата, подготвена от астронома Никола Каравасилев, са дадени съответните стойности за различни моменти от време, като е направена корекция за движението на Земята около Слънцето. Промяната на лъчевата скорост на звездата се дължи на гравитационното въздействие на планетата COROT-7b.

N	t [дни]	Vr [km/s]
1	0,05	31,1731
2	0,10	31,1758
3	0,15	31,177
4	0,20	31,1753
5	0,25	31,1771
6	0,30	31,1763
7	0,35	31,1748
8	0,40	31,1724
9	0,45	31,1696
10	0,50	31,1696
11	0,55	31,1662
12	0,60	31,1665
13	0,65	31,1655
14	0,70	31,1675
15	0,75	31,1664
16	0,80	31,1685
17	0,85	31,1723
18	0,90	31,1727
19	0,95	31,1749

ОСНОВНИ АСТРОФИЗИЧНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ НА ЗВЕЗДИТЕ

Истински цветове $(B-V)_0$ и $(U-B)_0$ ; Абсолютни зв.вел. $M_V$ ; Ефективни темп. $T_{eff}$ и Светимости $\mathcal{L}/\mathcal{L}_\odot$ ; Маси $\mathcal{M}/\mathcal{M}_\odot$ и Радиуси $\mathcal{R}/\mathcal{R}_\odot$ по класове на светимост.

Спектр. клас	Величина	V	III	Ib	Ia	I
O5	$(B-V)_0$	−0.33	−0.32		−0.31
O5	$(U-B)_0$	−1.19	−1.17		−1.17
O5	$M_V$	−5.7	−6.3		−6.8
O5	$T_{eff}$	44 500	42 500			40 300
O5	$\mathcal{L}/\mathcal{L}_\odot$	790 000	990 000			1 100 000
O5	$\mathcal{M}/\mathcal{M}_\odot$	60				70
O5	$\mathcal{R}/\mathcal{R}_\odot$	12				30
B0	$(B-V)_0$	−0.30	−0.29		−0.23
B0	$(U-B)_0$	−1.08	−1.08		−1.05
B0	$M_V$	−4.0	−5.1	−6.1	−6.9
B0	$T_{eff}$	30 000	29 000			26 000
B0	$\mathcal{L}/\mathcal{L}_\odot$	52 000	110 000			260 000
B0	$\mathcal{M}/\mathcal{M}_\odot$	17.5	20			25
B0	$\mathcal{R}/\mathcal{R}_\odot$	7.4	15			30
B5	$(B-V)_0$	−0.17	−0.17		−0.08
B5	$(U-B)_0$	−0.58	−0.58		−0.76
B5	$M_V$	−1.2	−2.2	−5.4	−7.0
B5	$T_{eff}$	15 400	15 000			13 600
B5	$\mathcal{L}/\mathcal{L}_\odot$	830	1 800			52 000
B5	$\mathcal{M}/\mathcal{M}_\odot$	5.9	7			20
B5	$\mathcal{R}/\mathcal{R}_\odot$	3.9	8			50
A0	$(B-V)_0$	−0.02	−0.03		0.02
A0	$(U-B)_0$	−0.02	−0.07		−0.44
A0	$M_V$	0.6	0.0	−5.2	−7.1
A0	$T_{eff}$	9 520	10 100			9 700
A0	$\mathcal{L}/\mathcal{L}_\odot$	54	106			35 000
A0	$\mathcal{M}/\mathcal{M}_\odot$	2.9	4			16
A0	$\mathcal{R}/\mathcal{R}_\odot$	2.4	5			60
A5	$(B-V)_0$	0.15	0.15		0.09
A5	$(U-B)_0$	0.10	0.11		−0.10
A5	$M_V$	2.0	0.7	−5.1	−7.4
A5	$T_{eff}$	8 200	8 100			8 510
A5	$\mathcal{L}/\mathcal{L}_\odot$	14	43			35 000
A5	$\mathcal{M}/\mathcal{M}_\odot$	2.0				13
A5	$\mathcal{R}/\mathcal{R}_\odot$	1.7				60
F0	$(B-V)_0$	0.30	0.30		0.17
F0	$(U-B)_0$	0.03	0.08		0.15
F0	$M_V$	2.7	1.5	−5.1	−8.0
F0	$T_{eff}$	7 200	7 150			7 700
F0	$\mathcal{L}/\mathcal{L}_\odot$	6.5	20			32 000
F0	$\mathcal{M}/\mathcal{M}_\odot$	1.6				12
F0	$\mathcal{R}/\mathcal{R}_\odot$	1.5				80
F5	$(B-V)_0$	0.44	0.43		0.31
F5	$(U-B)_0$	−0.02	0.09		0.27
F5	$M_V$	3.5	1.6	−5.1	−8.0
F5	$T_{eff}$	6 440	6 470			6 900
F5	$\mathcal{L}/\mathcal{L}_\odot$	3.2	17			32 000
F5	$\mathcal{M}/\mathcal{M}_\odot$	1.4				10
F5	$\mathcal{R}/\mathcal{R}_\odot$	1.3				100
G0	$(B-V)_0$	0.58	0.60		0.75
G0	$(U-B)_0$	0.06	0.21		0.52
G0	$M_V$	4.4	1.0	−5.0	−8.0
G0	$T_{eff}$	6 030	5 850			5 550
G0	$\mathcal{L}/\mathcal{L}_\odot$	1.5	34			30 000
G0	$\mathcal{M}/\mathcal{M}_\odot$	1.05	10			10
G0	$\mathcal{R}/\mathcal{R}_\odot$	1.1	6			120
G5	$(B-V)_0$	0.68	0.86		1.03
G5	$(U-B)_0$	0.20	0.56		0.82
G5	$M_V$	5.1	0.9	−4.6	−7.9
G5	$T_{eff}$	5 770	5 150			4 850
G5	$\mathcal{L}/\mathcal{L}_\odot$	0.79	43			29 000
G5	$\mathcal{M}/\mathcal{M}_\odot$	0.92	1.1			12
G5	$\mathcal{R}/\mathcal{R}_\odot$	0.92	10			150
K0	$(B-V)_0$	0.81	1.00		1.25
K0	$(U-B)_0$	0.45	0.84		1.18
K0	$M_V$	5.9	0.7	−4.3	−7.7
K0	$T_{eff}$	5 250	4 750			4 420
K0	$\mathcal{L}/\mathcal{L}_\odot$	0.42	60			29 000
K0	$\mathcal{M}/\mathcal{M}_\odot$	0.79	1.1			13
K0	$\mathcal{R}/\mathcal{R}_\odot$	0.85	15			200
K5	$(B-V)_0$	1.15	1.50		1.60
K5	$(U-B)_0$	1.08	1.81		1.80
K5	$M_V$	7.4	−0.2	−4.4	−7.5
K5	$T_{eff}$	4 350	4 000			3 850
K5	$\mathcal{L}/\mathcal{L}_\odot$	0.15	220			38 000
K5	$\mathcal{M}/\mathcal{M}_\odot$	0.67	1.5			13
K5	$\mathcal{R}/\mathcal{R}_\odot$	0.72	25			400
M0	$(B-V)_0$	1.40	1.56		1.67
M0	$(U-B)_0$	1.22	1.87		1.90
M0	$M_V$	8.8	−0.4	−4.5	−7.0
M0	$T_{eff}$	3 850	3 800			3 650
M0	$\mathcal{L}/\mathcal{L}_\odot$	0.077	330			41 000
M0	$\mathcal{M}/\mathcal{M}_\odot$	0.51	1.2			13
M0	$\mathcal{R}/\mathcal{R}_\odot$	0.60	40			500
M5	$(B-V)_0$	1.64	1.63
M5	$(U-B)_0$	1.24	1.58		1.60
M5	$M_V$	12.3	−0.5	−4.8	−6.8
M5	$T_{eff}$	3 240	3 330			2 800
M5	$\mathcal{L}/\mathcal{L}_\odot$	0.011	930			300 000
M5	$\mathcal{M}/\mathcal{M}_\odot$	0.21				24
M5	$\mathcal{R}/\mathcal{R}_\odot$	0.27

А Постройте крива на лъчевата скорост на звездата COROT-7. Определете скоростта, с която тя се движи около общия център на масите с планетата.

Б Определете отношението на радиусите на планетата и звездата, след което намерете радиуса на COROT-7b.

В Пресметнете масата на планетата, а след това и нейната плътност. Към кой клас планети бихме могли да считаме, че тя прнадлежи?

Г Коментирайте точността на получените от Вас резултати и факторите, които влияят върху нея.

Отговори

Решение

Постояваме графика на изменението на лъчевата скорост.

Крива на лъчевата скорост на звездата COROT-7, построена по данните от таблицата.

Средната лъчева скорост, отчетена от графиката, е равна на $V_{cp} = 31.17$ km/s. Това е скоростта, с която се движи центърът на масите на планетната система, по направление на зрителния лъч, относно Слънцето. Амплитудата на кривата на лъчевите скорости, получена от графиката, е $V = 5.7$ km/s. Това е и орбиталната скорост на звездата около центъра на масите.

По рязкото спадане и издигане на блясъка на звездата в началото и края на пасажа съдим за това, че радиусът на планетата е много по-малък от радиуса на звездата. Затова за нашите оценки може да приемем, че планетата е точков обект. За времето на пасажа планетата изминава дъгата AB, обозначена на фиг.1.:

Фиг.1 към решението на задача 4: дъгата AB, която планетата изминава по време на пасажа, се вижда от центъра на звездата под ъгъл α.

Дъгата се вижда от центъра на звездата под ъгъл $\alpha$ . От схемата следва, че:

\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{R}{r}

където R е радиусът на звездата, а r е радиусът на орбитата на планетата.

От кривата на лъчевите скорости намираме моментите, в които лъчевата скорост е максимални и минимална: $t_{max} = 0^\mathrm{d}.2$ , $t_{min} = 0^\mathrm{d}.64$ . Те съответстват на моментите, в които звездата се движи по направлението на лъча на зрение – по посока от нас и към нас, съответно. В случая на кръгова орбита двата момента се намират точно на половин период отстояние един от друг. Следователно периодът на планетата е приблизително $T = 0^\mathrm{d}.88$ . Времето, за което планетата изминава дъгата AB, отнесено към периода на звездата, е равно на отношението на ъгъл $\alpha$ към 360°.

\frac{t}{T} = \frac{\alpha}{360^\circ}

От двете формули изразяваме r:

r = \frac{R}{\sin\left(\dfrac{180\cdot t}{T}\right)}

Тук t е времето за изминаване на дъгата AB. Това време е равно на продължителността на пасажа. От кривата на блясъка на звездата намираме тази продължителност и тя е приблизително равна на $t \approx 80$ min. Радиуса на звездата намираме от таблицата с астрофизичните характиристики на звезди от различни спектрални класове. Радиусът, съответстващ на спектралния клас и температурата на звездата, е $R = 0.82R_\mathrm{Sol}$ . Радиусът на Слънцето е 700 000 km . Пресмятаме и получаваме $R = 574000$ km.

Пресмятаме радиуса на орбитата по горната формула и получаваме:

r \approx 2.9\cdot10^6\ \text{km.}

Орбитата е кръгова, затова може да намерим орбиталната скорост на планетата:

V_{Pl} = \frac{2\pi r}{T} = 241\ \text{km/s}

Пак от таблицата с астрофизичните характеристики на звездите намираме, че масата на звездата трябва да е $M = 0.9M_\mathrm{Sol}$ . От закона за запазване на импулса, на системата звезда –планета, следва:

M \cdot V = M_{Pl} \cdot V_{Pl}

Пресмятаме масата на планетата:

M_{pl} = M \cdot \frac{V}{V_{Pl}} = 2.16\cdot10^{-5}\ M_\mathrm{Sol} \approx 4.34\cdot10^{25}\ \text{kg}

Намаляването на потока се дължи на това, че дискът на планетата засенчва част от диска на звездата. Отношението на потоците е равно на отношението на площта на диска на звездата минус площта засенчена от планетата, и площта на диска на звездата, когато е незасенчена от планетата.

\frac{S_* - S_{Pl}}{S_*} = \frac{R_*^2 - R_{Pl}^2}{R_*^2} = \frac{\Phi - \Delta\Phi}{\Phi} = 0.99965

където $\Phi$ и $\Delta\Phi$ са потокът от звездата и потокът от засенчената част на звездата. Оттук намираме радиуса на планетата: $R_{Pl} \approx 0.0187\cdot R_* \approx 10700$ km.

Малкият размер на планетата, сравним с размерите на Земята, позволява да отнесем планетата към т.нар. планети „суперземи“, а малкото разстояние до звездата ни позволява да я наричаме „гореща суперземя“.

Плътността на планетата е:

\rho = \frac{3M_{Pl}}{4\pi R_{Pl}^3} \approx 8360\ \text{kg/m}^3

Това е много голяма плътност, 1.5 пъти по-голяма от средната плътност на Земята. Може да очакваме COROT-7b да съдържа голямо количество тежки елементи, примерно желязо и никел. В нашата слънчева система Меркурий има голямо желязно ядро, но плътността му е съществено по-ниска от плътността на COROT-7b.

Относно точността на нашите пресмятания може да се каже, че върху тях влияят следните фактори:

Точността, с която измерваме понижаването на блясъка по време на пасажа, както и продължителността на пасажа;
Точността, с която измерваме ампплитудата на получената от нас крива на лъчевите скорости, както и периода на планетата. Точките на графиката не лежат на една идеална крива, поради което от там може да се появи някакво отклонение.

Затова точността на получените числени данни не може да очакваме да е по-добра от няколко процента.

Критерии за оценяване (общо 13 т.)

За построяване на кривата на лъчевите скорости, намиране на лъчевата скорост на системата и орбиталната скорост на звездата – 3т.

За определяне на радиусите на звездата и планетата и класифициране на планетата като „суперземя“ – 6т.

За намиране на масата и плътността на планетата – 3т.

За коментар на точността и източниците на грешки – 1т.

Оригинал в Архива: NOA3_2016_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2016_11-12solutions.pdf