НОА 2016, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 5. Сезони

• А Точки 2 и 4 (краищата на голямата ос) са лятното и зимното слънцестояние, а точки 1 и 3 – пресечните точки на орбитата с правата през S, перпендикулярна на голямата ос – съответно пролетното и есенното равноденствие. Сезоните настъпват едновременно в двете полукълба и се определят от силно променящото се разстояние до звездата: за северното полукълбо – много топло, може би горещо лято и много студена зима, за южното контрастът е донякъде смекчен.

• Б 14.1 дни

  Пролетта и лятото продължават по $T_{12} = 400\times6/170 \approx 14.1$ дни, а есента и зимата – по $400/2 - 14.1 = 185.9$ дни. Височината по пладне на екватора е 90° при равноденствията и 60° при слънцестоянията.

• В При лятното слънцестояние: отношението на осветеностите от разстоянието е 1.89 в полза на перихелия, а от ъгъла на падане – само $\sin 90^\circ/\sin 60^\circ \approx 1.15$ в полза на равноденствията.

Щом моментът на лятното слънцестояние съвпада с момента на преминаване на планетата през перихелия, то с точките 2 и 4 са отбелязани положенията на планетата съответно при лятно и зимно слънцестояние за нейното северно полукълбо. При нас, на Земята, сезоните се определят преди всичко от наклона на оста на нашата планета. Ексцентрицитетът на земната орбита е много малък и изменението на разстоянието Земя – Слънце в течение на годината много слабо влияе на сезоните. При разглежданата планета обаче, ситуацията е друга. Тя има значителен ексцентрицитет на орбитата си. Сезоните ще настъпват едновременно и в северното, и в южното полукълбо на планетата. Те няма да са противоположни, както при Земята, защото ще се определят не от наклона на оста, а от силно променящото се разстояние до звездата. Наклонът на оста ще внася само допълнително влияние. За северното полукълбо на планетата ще има много топло, може би горещо лято и много студена зима. За южното полукълбо контрастът между лято и зима ще бъде донякъде смекчен.

През точката S, в която се намира слънцето на тази далечна планета, прекарваме права перпендикулярна на голямата ос на елиптичната орбита на планетата. Тя пресича орбитата в точките 1 и 3. Това са положенията, в които за северното полукълбо на планетата е съответно пролетно и в есенно равноденствие. Тогава ориентацията на нейната ос спрямо слънцето е такава, че терминаторът на планетата ще минава през нейните полюси.

За да определим продължителността на сезоните на планетата ще използваме втория закон на Кеплер, сроред който за равни времена радиус-векторът на планетата описва равни площи от нейната елиптична орбита. За приблизително определяне на площите ще използваме квадратната мрежа и ще изразяваме тези площи в единици, ровняващи се на площта на едно квадратче. Можем да оценим площта на цялата елипса като приблизително равна на S = πab ≈ 170 квадратчета.

Пролетта в северното полукълбо на планетата започва, когато тя е в положение 1, и завършва, когато планетата е в положение 2. Площта на фигурата S12 е около 6 квадратчета. Също такава е и площта на фигурата S23, която съответства на продължителността на лятото. Орбиталният период на планетата е 400 дни. Като знаем това, можем да определим продължителността на пролетта:

Също толкова продължава и лятото. За есента можем да пресметнем:

Толкова ще продължава и зимата.

За наблюдател на екватора по пладне височината на слънцето над хоризонта ще бъде 90° при двете равноденствия. За да получим височината на слънцето по пладне при слънцестоянията, трябва от 90° да извадим наклона на оста на планетата, който е 30°. Следователно височината на Слънцето ще бъде 60°. При лятното слънцестояние то ще кулминира на север, а при зимното – на юг от небесния екватор.

На графиката е показано как ще се изменя височината на Слънцето по пладне през годината. С 1, 2 , 3 и 4 са означени същите моменти, както и на елиптичната орбита на планетата.

За да определим кога ще бъде по-топло за наблюдател на екватора на планетата – дали в равноденствие или в лятно слънцестояние, трябва да сравним влиянето на два фактора – разстоянието от планетата до слънцето и ъгъла на падане на слънчевите лъчи. На фигурата с орбитата на планетата измерваме разстоянията от планетата до слънцето в двата случая. Количеството лъчиста енергия, което се получава от слънцето, е обратно пропорционално на квадрата на разстоянието. Намираме квадрата на отношението на двете разстояния и то е 1.89. В перихелия осветеността, създавана от сълнцето върху планетата, ще бъде 1.89 пъти по-висока, отколкото в точките на равноденствие.

Осветеността е пропорционална на косинуса от ъгъла на падане на светлинните лъчи, или синуса от височината на Слънцето над хоризонта. За отношението на осветеностите при равноденствие и при лятно слънцестояние пресмятаме:

Следователно влиянието на разстоянието е по-силно в този случай и на екватора по пладне ще бъде по-топло при лятното слънцестояние, отколкото при равноденствията.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За отбелязваве на точките на слънцестояния и равноденствия – 1 т.

За описание на климата на планетата – 1 т.

За правилен подход при определяне на продължителността на сезоните – 2 т.

За правилни числени резултати – 1 т.

За определяне на височината на Слънцето в характерните моменти, графично представяне на изменението на височината на Слънцето и обяснение – 3 т.

За правилен метод на определяне кога ще бъде по-топло за наблюдател на екватора и числен резултат – 4 т.