НОА 2016, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 1. Слънце по пладне
XIX Национална олимпиада по астрономия 2016, национален кръг, възрастова група IX-X клас · 7 май 2016 г. · 15 т.
Условие
След приключението на Острова на русалките в една предишна олимпийска задача, астрономът Никола Каравасилев попада в плен на страшния владетел Джунгабунга. Едва успява да се спаси от врящия казан за обяд на племето, като предсказва, че след определен брой дни по пладне всички ще си изгубят сенките. После начертава пред владетеля графиката, която виждате. По хоризонталната ос е нанесено времето в дни от произволен начален момент, а по вертикалната ос е височината на Слънцето над хоризонта по пладне. Като вижда това, Джунгабунга го провъзгласява за придворен астроном, защото е владетел, който цени науката.
А На коя дата от годината съответства началната точка на графиката? Приблизително на кои дати хората от племето си изгубват сенките по пладне?
Б Върху какво е начертал вълшебната графика Никола – върху сняг или топъл морски пясък? Определете географската ширина на мястото.
В Как би изглеждала такава графика за планета с наклон на оста 50° спрямо вертикалата към нейната орбита, при положение, че наблюдателят се намира на 45° северна планетографска ширина? Нарисувайте приблизително, като отбележите характерните моменти и височини.
Отговори
А Началната дата е 1 януари (ако мястото е в северното полукълбо) или 28 юни (ако е в южното). Сенките изчезват в двата момента, когато Слънцето кулминира в зенита – при двата максимума от 90° на графиката.
Решението определя началната дата от това, че малкият минимум (22 юни, съотв. 22 декември) е 172 дни след началото на наблюденията.
Б 15.5 °
северна или южна географска ширина; и в двата случая мястото е с много топъл климат, т.е. графиката не е чертана върху сняг.
В Тропичните окръжности са на 50° от екватора, полярните – на 40°. При ширина 45° Слънцето достига зенита два пъти в дните близо до лятното слънцестояние (височина 90°, с понижение до около 85° точно на слънцестоянието, когато кулминира на север), а около зимното слънцестояние има полярна нощ – по пладне Слънцето е под хоризонта (до около −5°).
Решение
Щом има дни в годината, когато по пладне хората от племето на Джунгабунга си губят сенките, то мястото, където е попаднал астрономът Каравасилев, се намира някъде между северната и южната тропична окръжност. Само в тази зона от земното кълбо Слънцето може да се издига до зенита. От графиката се вижда, че това се случва не един, а два пъти в годината, което означава, че мястото не лежи точно на някоя от тропичните окръжности. Освен това двата момента не са през половин година и следователно мястото не се намира точно на екватора. Ако племето живее някъде между екватора и северната тропична окръжност, то минимална височина на Слънцето над хоризонта по пладне ще се получава около зимното слънцестояние на 22.XII. Тогава Слънцето ще кулминира на юг на височина над хоризонта . Височината определяме, като чрез измервания установяваме мащаба на скалата на височините в градуси. Ако е наклонът на земната ос спрямо вертикалата към еклиптиката, е географската ширина на местообитанието на племето, то в сила е следното съотношение:
По-малкият минимум на около 82° за височината на Слънцето по пладне се получава за датата на лятното слънцестоене на 22 юни. Тогава Слънцето кулминира на север и височината му над хоризонта следва да се отчита от точката север на хоризонта. В такъв случай съотношениението е:
От него също можем да намерим географската ширина.
Племето на владетеля Джунгабунга може да се намира и в южното полукълбо на 15.5° южна географска ширина. Ако датата на малкия минимум е била 22 декември, то племето се е намирало на 15.5° южна географска ширина.
Ако местообиталището на племето е в северното полукълбо на Земята, датата на малкия минимум е 22 юни. Като използваме мащаба по хоризонталната ос, определяме, че тази дата е била 172 дни след началото на наблюденията. Преброявайки дните в различните месеци, стигаме до извода, че началната дата на наблюденията е била 1 януари. Ако племето е в южното полукълбо, то началото на наблюдетията е било 172 дни преди 22 декември, или 28 юни.
И в двата случая астрономът се е намирал на място с много топъл климат и не е чертал графиката върху сняг.
На планета с наклон на оста 50° спрямо вертикалата към нейната орбита, при положение, че наблюдателят се намира на 45° северна планетографска ширина, ситуацията би изглеждала доста необикновено. На такава планета тропичните окръжности биха били разположени на 50° от екватора, а полярните окръжности – на 40° от екватора. При ширина 45° наблюдателят би се намирал в странната зона, където два пъти в годината, в дни близки до лятното слънцестояние Слънцето би достигало до зенита по пладе, а около самото слънцестояние би кулминирало на север, както е показано в положение 1 на фигурата. Около зимното слънцестояние обаче, би се наблюдавала полярна нощ в продължение няколко дни, в които по пладне Слънцето ще остава под хоризонта, както е показано в положение 2 на фигурата.
Графиката, илюстриращата изменението на височината на Слънцето по пладне, е дадена по-долу.
Критерии за оценяване (общо 15 т.):
За общо описание на разположението на наблюдателя и особеностите по графиката – 3 т.
За посочване на началната дата – 1 т.
За правилен начин на определяне на географската ширина – 3 т.
За правилна числена стойност – 1 т.
За посочване на второто възможно решение – 1 т.
За правилно общо разглеждане на ситуацията с другата планета – 3 т.
За правилно представяне на графиката за другата планета – 3 т.
Оригинал в Архива: NOA3_2016_9-10problems.pdf · официални решения: NOA3_2016_9-10solutions.pdf