НОА 2016, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 2. Двойна планета

• А 62.09 h

  $T_S \approx 62.09$ h $\approx 2.587$ d – еднакво за двете планети (звездното денонощие е $T \approx 61.66$ h $\approx 2.569$ d).

• Б 1.26 h

  В точка A – центъра на полукълбото на планетата на Феите, обърнато към планетата на Елфите, където видимият ъглов диаметър е максимален ($\delta \approx 7.8^\circ$).

• В Затъмнение на планетата на Феите от сянката на своята собствена планета – непълно, тъй като сянката е конус, стесняващ се с отдалечаването; затъмнена е почти цялата обърната към тях страна, като остава тясна пръстеновидна област извън пълната сянка и границата на сянката е размита.

• Г Да – на страните, обърнати една към друга, ще бъде малко по-хладно заради по-голямото средно разстояние до звездата в средата на деня и заради ежедневните слънчеви затъмнения; разликата е лека.

Да означим с $M$ масата всяка от планетите, която е равна на земната маса, с $r$ разстоянието между планетите и с $\gamma$ гравитационната константа. Орбиталния период $T$ на двойката планети, движещи се една около друга, можем да намерим от третия закон на Кеплер:

Поради синхронното въртене на планетите, това е и продължителността на звездното денонощие за всяка от тях. Слънчевото денонощие $T_S$ ще намерим от формулата:

където $T_0$ е продължителността на годината за планетите. Понеже те обикалят около звезда като Слънцето на разстояние една астрономическа година, то можем да смятаме, че годината там ще е равна на една земна година.

Продължителността на пълната фаза на слънчевото затъмнение за дадено място на планетата на Феите ще зависи от видимия ъглов диаметър на планетата на Елфите.

Както се вижда от фигурата, очевидно видимият ъглов диаметър на планетата на Елфите ще е най-голям за наблюдател, намиращ се в точка A на планетата на Феите. Точка A е в центъра на на полукълбото на планетата на Феите, което е обърнато към планетата на Елфите. За наблюдател в тази точка видимият ъглов диаметър на пранетата на Елфите ще бъде:

За наблюдател в точка A планетата на Елфите се намира постоянно в зенита. Слъцето извършва видимо денонощно движение от изток на запад по небето с ъглова скорост, която се определя от слънчевото денонощие. Продължителността на пълната фаза на слънчевото затъмнение за наблюдател в точка A ще се равнява на времето, за което при видимото си денонощно движение Слънцето преминава зад планетата на Елфите. Центърът на слънчевия диск трябва да измине дъга, равняваща се на видимия ъглов диаметър на планетата на Елфите минус видимия ъглов диаметър на самото Слънце $\delta_S$ :

Продължителността на пълната фаза на затъмнението ще бъде:

По същото време жителите на планетата на Елфите, които се намират на подходящото полукълбо, ще виждат затъмнение на планетата на Феите от сянката на своята собствена планета. Това затъмнение няма да е пълно, понеже сянката на планетата на Елфите ще представлява конус, стесняващ се с отдалечаването от нея. На разстоянието до планетата на Феите диаметърът на сянката ще е малко по-малък от диаметъра на самата планета Елфите ще виждат затъмнена почти цялата страна на планетата на Феите, която е обърната към тях. Само тясна пръстеновидна област ще остава извън пълната сянка. Всъщност около границата на пълната сянка няма да е особено светло, тъй като там ще бъде най-тъмната зона на полусянката, т.е. сянката на планетата на Елфите ше има размита граница.

Общо взето, на страните на всяка от планетите, която е обърната към другата, ще бъде малко по-хладно, отколкото на другата страна.. Нека си представим, че е средата на деня примерно за точка A на планетата на Феите. В този момент планетата на Феите ще е малко по-далеч от Слънцето, отколкото планетата на Елфите. Като включим и ефекта от ежедневните слънчеви затъмнения, ще се получи наистина лека разлика между климата на страните на планетите, които са обърнати една към друта, и на обратните страни.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За намиране на орбиталния период на планетите – 2 т.

За определяне продължителността на слънчевото денонощие – 2 т.

За правилна числена стойност – 1 т.

За правилен метод за пресмятане продължителността на пълната фаза на затъмнението – 5 т.

За правилна числена стойност – 1 т.

За обяснение каво ще видят жителите на другата планета по време на затъмнанието – 2 т.

За разсъждения относно разликите в климата – 2 т.