НОА 2016, IV кръг, Младша възраст — Задача 4. Странният астероид

• Звездна величина 11ᵐ.81; радиус около 9.9 km.
• А) $m_2\approx11^m.81$
• Б) 9.9 km

Решение:

А) Означаваме с $T_З=1$ година орбиталния период на Земята, а с $T_A$ сидеричния период на астероида. Ако $T_{SIN}$ е синодичният период на астероида, относно Земята, то можем да запишем следното равенство:

Следователно:

В условието на задачата е казано, че първата опозиция на астероида настъпва, когато той е възможно най-близо до Земята. След като приемаме земната орбита за кръгова, то можем да направим извода, че в този момент астероидът е в перихелия на своята орбита. Получихме, че втората опозиция настъпва 2.5 години след първата, което означава, че това се случва в момента в който Земята се намира точно на $180^\circ$ спрямо положението в което се е намирала при първата опозиция. Следователно, астероидът също се намира в противоположната точка от своята орбита, т.е. в афелия си.

Нека $a$ да е голямата полуос на орбитата на астероида. Съгласно третия закон на Кеплер, записан за Слънчевата система:

Оттук намираме, че $a\approx1.41\ \mathrm{AU}$.

Разстоянията между астероида и Слънцето в перихелия и афелия на орбитата му са, съответно:

Съответните разстояния до Земята са:

Когато астероидът се наблюдава в опозиция и е в перихелия на своята орбита, той създава осветеност $E_1$, а във втория случай, когато е в афелий, тя е $E_2$. Първата осветеност е по-голяма от втората по две причини:

• Астероидът е по-близо до Слънцето и поради това върху него попада повече енергия за единица време, съответно и „светимостта“ на отразената му светлина е по-голяма;

• Той е по-близо до земния наблюдател.

За двете осветености, можем да запишем следното:

За отношението им е изпълнено:

Ако $m_1$ е звездната величина на астероида при опозицията му в перихелий, а $m_2$ е търсената звездна величина в афелий, то съгласно закона на Погсон:

Б) Означаваме звездната величина на пълната Луна с $m_{Л}==12^m.7$, а осветеността, която тя създава върху нас с $E_{Л}$. От закона на Погсон можем да намерим:

Казано е, че свойствата на повърхността на астероида и Луната са сходни, поради което можем да приемем, че те имат едно и също албедо. Нека с $R_{Л}$ да означим радиуса на Луната, а с $R$ търсения радиус на астероида. За осветеностите, които те създават върху Земята можем да запишем:

От тук следва, че:

Следователно:

Критерии за оценка (Общо – 15т.):

А) – 9т.

• за намиране на синодичния период на астероида – 1т.

• за съобразяване на положението на астероида през следващата опозиция – 2т.

• за намиране на разстоянията от астероида до Земята в двете опозиции – 1т.

• за съобразяване на факторите от които зависи отношението на осветеностите и правилно изразяване на това отношение – 4т.

• за математически преобразувания и правилно изразяване на търсената звездна величина – 1т.

Б) – 6т.

• за правилно определяне на факторите от които зависят осветеностите, създавани от астероида и Луната – 1,5т

• за правилно изразяване на отношението на двеете осветености – 2т.

• за правилни математически преобразувания и изразяване на търсения радиус – 1,5т.

• за верен числен резултат – 1т.