Съдържание

НОА 2016, IV кръг, Старша възраст — Задача 1. Двойната звезда 32 Comae

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2016

ХVІІІ НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · IV кръг, 12 юли 2016 г., х. Бузлуджа, теоретичен тур · Старша възраст · 12 юли 2016 г. · 15 т.

Условие

Системата 32 Comae се състои от две звезди от спектрален клас F5V. Всяка от тях е със звездна величина 5.22 $^{m}$ . Орбиталният период на системата е 26 години, а паралаксът е 0.057″. Ексцентрицитетът на орбитите на звездите е 0.37. Големите оси на орбитите лежат на права линия, насочена по зрителния лъч за земния наблюдател.

Да се определи максималният ъгъл на наклона на големите оси на орбитите на звездите към зрителния лъч, при който биха се наблюдавали затъмнения.

Да се определи продължителността на централните затъмнения на двете звезди.

Решение

Наклонът на равнината на обитата на двойната звезда i е равен на наклона j на големите оси на орбитите на двете звезди относно лъча на зрение. Нека j е ъгълът, относно лъча на зрение, при който започват затъмненията в системата. При зададен размер на звездите затъмненията ще започват толкова по-рано, колкото по-близо са звездите. Следователно, ако намаляваме ъгъла на наклона, първо затъмненията ще започнат когато звездите се намират в периастъра на орбитата. При работа с относителната орбита на системата затъмненията ще започнат, когато звездата, която се движи около звездата, приета за неподвижна, се намира в периастъра на орбитата. Разстоянието между звездите в периастъра може да се получи от формулата:

a_p=a(1-e)

От Фиг. 1 се вижда, че:

j_p[\mathrm{rad}]=\frac{R}{a_p/2}

j_p=\frac{R}{a_p/2}\cdot205265\prime\prime

Фиг. 1. Геометрия на започването на затъмненията.

където ap е голямата полуос на относителната орбита на двойната система. За да пресметнем наклона, трябва да определим R и ap. От дадената таблица с астрофизичните величини на звездите вземаме значенията на радиусите и масите на звездите от спектрален клас F5V , изразени в слънчеви радиуси и слънчеви маси:

R=1.3R_S;\quad M=1.4M_S

От кратката форма на третия закона на Кеплер, в който голямата полуос е изразена в астрономически единици, периода – в земни години, а масите – в слънчеви маси, намираме голямата полуос на относителната орбита на двойната звезда, изразена в астрономически единици:

\frac{a^3}{T^2}=2\times1.4

\frac a2=\sqrt[3]{1.4\cdot T^2}=9.818\ \mathrm{AU}=1.469\cdot10^9\ \mathrm{km}

a=2.938\cdot10^9\ \mathrm{km}

За ъгъла на наклона получаваме:

j_p[\mathrm{rad}]=\frac{R}{a_p/2}=\frac{2R}{a(1-e)}=9.78\cdot10^{-4}\ \mathrm{rad}

j_p=j_p[\mathrm{rad}]\cdot206265=202\prime\prime\approx3\prime.4

За да определим продължителността на централните затъмнения, трябва да знаем относителната скорост на движение на звездите по орбитата, в момента когато звездите са в периастъра или в апоастъра на своята орбита. Следователно трябва да намерим скоростите в тези две точки от орбитата на звездата. Знаем, че скоростите в перицентъра и апоцентъра на една система с ексцентрицитет е са равни съответно на:

v_p=v_0\sqrt{\frac{1+e}{1-e}};\quad v_a=v_0\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}

където $v_0=2\pi a/T$ е кръговата скорост по относителната орбита, с радиус равен на голямата полуос на системата. Пресмятаме и получаваме:

v_p=33.22\ \mathrm{km/s};\quad v_a=15.28\ \mathrm{km/s}

Това е относителната скорост на звездите за наблюдател, намиращ се на продължението на апсидната линия на системата. Поради това, че размерите на двете компоненти са еднакви, затъмнението продължава докато едната звезда, преминаваща пред другата, измине два пъти своя диаметър. При това апсидната линия се завърта на ъгъл $\varphi=2j$ .

Двата звездни диаметъра и ъглите j при централно затъмнение.

Когато звездите са в периастъра, получаваме:

\varphi_p=2j_p=\frac{2D}{a_p}=\frac{2D}{a(1-e)}=1.96\cdot10^{-3}\ \mathrm{rad}

Изразяваме ъгловата скорост чрез линейната:

\omega_p=\frac{v_p}{a_p}=\frac{\varphi_p}{\Delta t_p}=\frac{2j_p}{\Delta t_p}

За продължителността на затъмнението, когато звездите преминават през периастъра получаваме:

\Delta t_p=\frac{2j_p}{\omega_p}=\frac{2j_pa_p}{v_p}=\frac{2j_pa(1-e)}{v_p}=108984\ \mathrm{s}\approx1^{\mathrm d}.26

Аналогично, за апоастъра получаваме:

\varphi_a=2j_a=\frac{2D}{a_a}=6.917\cdot10^{-4}\ \mathrm{rad}

\Delta t_a=\frac{2j_a}{\omega_a}=\frac{2j_aa_a}{v_a}=\frac{2j_pa(1+e)}{v_a}=182200\ \mathrm{s}=2^{\mathrm d}.11

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За правилна постановка и чертеж – 2 т.

За определяне на радиуса и масата на звездите от таблицата – 1 т.

За определяне на голямата полуос – 2 т.

За определяне на ъгъла на наклона и правилен числен резултат за периастъра и апоастъра – 3т.

За правилен подход при определяне на продължителността на затъмнението и чертеж – 2 т.

За определяне на скоростите на звездите – 2 т.

За определяне на продължителността на затъмненията и правилен числен резултат за двата случая– 3т.

Основни астрофизични характеристики на звездите

Справочни данни — истински цветове

Спектрален клас	$(B-V)_0$ V	$(U-B)_0$ V	$(B-V)_0$ III	$(U-B)_0$ III	$(B-V)_0$ Ia	$(U-B)_0$ Ia
O5	−0.33	−1.19	−0.32	−1.17	−0.31	−1.17
B0	−0.30	−1.08	−0.29	−1.08	−0.23	−1.05
B5	−0.17	−0.58	−0.17	−0.58	−0.08	−0.76
A0	−0.02	−0.02	−0.03	−0.07	0.02	−0.44
A5	0.15	0.10	0.15	0.11	0.09	−0.10
F0	0.30	0.03	0.30	0.08	0.17	0.15
F5	0.44	−0.02	0.43	0.09	0.31	0.27
G0	0.58	0.06	0.60	0.21	0.75	0.52
G5	0.68	0.20	0.86	0.56	1.03	0.82
K0	0.81	0.45	1.00	0.84	1.25	1.18
K5	1.15	1.08	1.50	1.81	1.60	1.80
M0	1.40	1.22	1.56	1.87	1.67	1.90
M5	1.64	1.24	1.63	1.58		1.60

Абсолютни звездни величини $M_V$

Спектрален клас	V	III	Ib	Ia
O5	−5.7	−6.3		−6.8
B0	−4.0	−5.1	−6.1	−6.9
B5	−1.2	−2.2	−5.4	−7.0
A0	0.6	0.0	−5.2	−7.1
A5	2.0	0.7	−5.1	−7.4
F0	2.7	1.5	−5.1	−8.0
F5	3.5	1.6	−5.1	−8.0
G0	4.4	1.0	−5.0	−8.0
G5	5.1	0.9	−4.6	−7.9
K0	5.9	0.7	−4.3	−7.7
K5	7.4	−0.2	−4.4	−7.5
M0	8.8	−0.4	−4.5	−7.0
M5	12.3	−0.5	−4.8	−6.8

Ефективни температури и светимости

Спектрален клас	$T_{\mathrm{eff}}$ V	$L/L_\odot$ V	$T_{\mathrm{eff}}$ III	$L/L_\odot$ III	$T_{\mathrm{eff}}$ I	$L/L_\odot$ I
O5	44 500	790 000	42 500	990 000	40 300	1 100 000
B0	30 000	52 000	29 000	110 000	26 000	260 000
B5	15 400	830	15 000	1 800	13 600	52 000
A0	9 520	54	10 100	106	9 700	35 000
A5	8 200	14	8 100	43	8 510	35 000
F0	7 200	6.5	7 150	20	7 700	32 000
F5	6 440	3.2	6 470	17	6 900	32 000
G0	6 030	1.5	5 850	34	5 550	30 000
G5	5 770	0.79	5 150	43	4 850	29 000
K0	5 250	0.42	4 750	60	4 420	29 000
K5	4 350	0.15	4 000	220	3 850	38 000
M0	3 850	0.077	3 800	330	3 650	41 000
M5	3 240	0.011	3 330	930	2 800	300 000

Маси и радиуси

Спектрален клас	$M/M_\odot$ V	$R/R_\odot$ V	$M/M_\odot$ III	$R/R_\odot$ III	$M/M_\odot$ I	$R/R_\odot$ I
O5	60	12			70	30
B0	17.5	7.4	20	15	25	30
B5	5.9	3.9	7	8	20	50
A0	2.9	2.4	4	5	16	60
A5	2.0	1.7			13	60
F0	1.6	1.5			12	80
F5	1.4	1.3			10	100
G0	1.05	1.1	10	6	10	120
G5	0.92	0.92	1.1	10	12	150
K0	0,79	0.85	1.1	15	13	200
K5	0.67	0.72	1.5	25	13	400
M0	0.51	0.60	1.2	40	13	500
M5	0.21	0.27			24

Оригинал в Архива: NOA4_2016_STproblems.pdf · официални решения: NOA4_2016_STsolutions.pdf