Съдържание

НОА 2016, IV кръг, Старша възраст — Задача 2. Лъчева скорост

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2016

ХVІІІ НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · IV кръг, 12 юли 2016 г., х. Бузлуджа, теоретичен тур · Старша възраст · 12 юли 2016 г. · 15 т.

Условие

На фигурата е показана графиката на изменение на лъчевата скорост на главната компонента в затъмнително двойна променлива звезда. Главната компонента представлява ярка гореща звезда, която се върти около своята ос с висока скорост. Ефектът от това околоосно въртене е отразен върху графиката. Той се проявява чрез рязко отместване на спектралните линии по време на частичните фази на затъмнението на главната компонента от вторичната, доста по-слаба компонента.

Графика на лъчевата скорост (km/s) спрямо времето (в дни) на главната компонента в затъмнителна двойна звезда, показваща периодични резки отмествания при частичните фази на затъмнение.

Разгледайте внимателно графиката и определете дали посоката на околоосно въртене на главната компонента съвпада с посоката на нейното орбитално движение около центъра на масите на системата или не. Обяснете вашето заключение.

Определете интервала от време между два изгрева на вторичната компонента за наблюдател на повърхността на главната компонента в тази двойна звездна система.

Решение

Обозначаваме с А ярката главна компонента, а с В – по-слабата по блясък компонента. Предполагаме, че околоосното въртене на компонентата А е в същата посока, в каквато е и орбиталното движение на звездите. На следващата фигура са представени последователни положения на двете звезди, както биха изглеждали за земния наблюдател.

Последователните положения 1–7 на компонентите A и B.

В положение 1 при орбиталното си движение компонентата В се отдалечава от нас, а главната компонента А се приближава към нас и има максимална положителна лъчева скорост. Този момент съответства на точката, означена с 1 на графиката. В момента 2 започва затъмнението на главната компонента от вторичната. Лъчевите скорости на двете звезди са почти нулеви. Този момент съответства на точка 2 на графиката. От този момент нататък звездата В започва да скрива онези части от видимата страна на звезата А, които се приближават към нас при нейното околоосно въртене. Наблюдаваният спектър се променя, като спектралните линии се отместват отново към червения край на спектъра. Този ефект достига максимарната си сила в положение 3, когато само малка част от звездата А остава незакрита от звездата В. В тази част на звездата А лъчевата скорост, породена от околоосното въртене, е максимална. След това настъпва пълно (или с максимална фаза, според размерите на звездите) затъмнение – положение 4. В следващия момент 5 се открива малка част от другата страна на ярката звезда А, която поради околоосното въртене има максимална по абсолютна стойност отрицателна лъчева скорост. Моментите 4 и 5 също са отразени на графиката на лъчевата скорост. После затъмнението свършва в момент 6, а в момент 7 звездата В се движи в посока към нос с с максимална лъчева скорост.

Лъчевата скорост с означени моменти 1–7.

Тъй като обяснението, което изложихме, се съгласува напълно с графиката на лъчевата сорост, то с него можем да считаме за доказано, че звездата А се върти около оста си в същата посока, в каквато се движи по орбитата си. Ако беше обратно, то след точка 2 кривата на лъчевата скорост щеше да тръгва рязко надолу, а след максималната фаза на затъмнението щеше да тръгва рязко нагоре. На графиката лъчевите скорости в моментите 3 и 5 са приблизително равни по абсолютна стойност на линейната скорост vE на точки от екватора на звездата А при нейното околоосно въртене. Нека определим тази скорост. Измерваме по кривата и намираме амплитудата на изменение на лъчевата скорост между моментите 3 и 5. После разделяме тази амплитуда на две. Получаваме: $v_E\approx200$ км/сек. Сега можем да намерим периода Р на оклоосно въртене на звездата. От таблицата с астрофизическите характеристики намираме, че звезда от спектрален клас В0 и III клас светимост (гигант) има радиус R = 15 слънчеви радиуса. Тогава:

P=\frac{2\pi R}{v_E}

P\approx3\times10^6\ \mathrm{sec}\approx91.6\ \mathrm h\approx3.82\ \text{денонощия}

Да разгледаме участъците от кривата, отразяващи изменението на лъчевата скорост, свързано с орбиталното движение на системата. Те не представляват части от синусоида, но са близки до този профил. Орбиталното движение на компонентите А и В не е кръгово, но е близко до кръгово. По диаграмата определяме орбиталния период на системата и той е $T=2.5$ денонощия. Виждаме, че периодът на околоосно въртене на главната компонента А е по- дълъг от периода на орбитално движение. Това означава, че за наблюдател на „повърхността” на главната компонента другата звезда ще изгрява от запад и ще залязва на изток. За интервала от време между два изгрева TS можем да напишем:

\frac1{T_S}=\frac1P-\frac1T

T_S=\frac{TP}{T-P}

T_S\approx-7.26\ \text{денонощия}

Знакът минус сеполучава заради обратната посока на видимото движение на звездата В за наблюдател, намиращ се на повърхността на звездата А.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За обяснение на ефекта на околоосно въртене главната компонента в графиката на лъчевата скорост – 4 т.

За разсъждение и правилно заключение относно посоката на въртене – 3 т.

За правилен математически метод за определяне на периода TS – 3 т.

За измерване и числено пресмятане – 3 т.

За верен краен резултат – 1 т.

За отбелязване на факта, че видимото движение на звездата В ще бъде в обратна посока – 1 т.

Основни астрофизични характеристики на звездите

Справочни данни — истински цветове

Спектрален клас	$(B-V)_0$ V	$(U-B)_0$ V	$(B-V)_0$ III	$(U-B)_0$ III	$(B-V)_0$ Ia	$(U-B)_0$ Ia
O5	−0.33	−1.19	−0.32	−1.17	−0.31	−1.17
B0	−0.30	−1.08	−0.29	−1.08	−0.23	−1.05
B5	−0.17	−0.58	−0.17	−0.58	−0.08	−0.76
A0	−0.02	−0.02	−0.03	−0.07	0.02	−0.44
A5	0.15	0.10	0.15	0.11	0.09	−0.10
F0	0.30	0.03	0.30	0.08	0.17	0.15
F5	0.44	−0.02	0.43	0.09	0.31	0.27
G0	0.58	0.06	0.60	0.21	0.75	0.52
G5	0.68	0.20	0.86	0.56	1.03	0.82
K0	0.81	0.45	1.00	0.84	1.25	1.18
K5	1.15	1.08	1.50	1.81	1.60	1.80
M0	1.40	1.22	1.56	1.87	1.67	1.90
M5	1.64	1.24	1.63	1.58		1.60

Абсолютни звездни величини $M_V$

Спектрален клас	V	III	Ib	Ia
O5	−5.7	−6.3		−6.8
B0	−4.0	−5.1	−6.1	−6.9
B5	−1.2	−2.2	−5.4	−7.0
A0	0.6	0.0	−5.2	−7.1
A5	2.0	0.7	−5.1	−7.4
F0	2.7	1.5	−5.1	−8.0
F5	3.5	1.6	−5.1	−8.0
G0	4.4	1.0	−5.0	−8.0
G5	5.1	0.9	−4.6	−7.9
K0	5.9	0.7	−4.3	−7.7
K5	7.4	−0.2	−4.4	−7.5
M0	8.8	−0.4	−4.5	−7.0
M5	12.3	−0.5	−4.8	−6.8

Ефективни температури и светимости

Спектрален клас	$T_{\mathrm{eff}}$ V	$L/L_\odot$ V	$T_{\mathrm{eff}}$ III	$L/L_\odot$ III	$T_{\mathrm{eff}}$ I	$L/L_\odot$ I
O5	44 500	790 000	42 500	990 000	40 300	1 100 000
B0	30 000	52 000	29 000	110 000	26 000	260 000
B5	15 400	830	15 000	1 800	13 600	52 000
A0	9 520	54	10 100	106	9 700	35 000
A5	8 200	14	8 100	43	8 510	35 000
F0	7 200	6.5	7 150	20	7 700	32 000
F5	6 440	3.2	6 470	17	6 900	32 000
G0	6 030	1.5	5 850	34	5 550	30 000
G5	5 770	0.79	5 150	43	4 850	29 000
K0	5 250	0.42	4 750	60	4 420	29 000
K5	4 350	0.15	4 000	220	3 850	38 000
M0	3 850	0.077	3 800	330	3 650	41 000
M5	3 240	0.011	3 330	930	2 800	300 000

Маси и радиуси

Спектрален клас	$M/M_\odot$ V	$R/R_\odot$ V	$M/M_\odot$ III	$R/R_\odot$ III	$M/M_\odot$ I	$R/R_\odot$ I
O5	60	12			70	30
B0	17.5	7.4	20	15	25	30
B5	5.9	3.9	7	8	20	50
A0	2.9	2.4	4	5	16	60
A5	2.0	1.7			13	60
F0	1.6	1.5			12	80
F5	1.4	1.3			10	100
G0	1.05	1.1	10	6	10	120
G5	0.92	0.92	1.1	10	12	150
K0	0,79	0.85	1.1	15	13	200
K5	0.67	0.72	1.5	25	13	400
M0	0.51	0.60	1.2	40	13	500
M5	0.21	0.27			24

Оригинал в Архива: NOA4_2016_STproblems.pdf · официални решения: NOA4_2016_STsolutions.pdf