Съдържание

НОА 2016, IV кръг, Старша възраст — Задача 3. Метеорна фотография

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2016

ХVІІІ НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · IV кръг, 12 юли 2016 г., х. Бузлуджа, теоретичен тур · Старша възраст · 12 юли 2016 г. · 15 т.

Условие

Известният астрофотограф Калина Стоименова е заснела метеор от потока Персеиди, който е прелетял през зенита. Снимката е направена с продължителна експонация. Фотоапаратът е бил неподвижен. Фокусното разстояние на неговия обектив е 50 мм, цифровата матрица е с формат 3000×2000 пиксела и диагонал 27.3 мм. Метеорът има ъглова дължина 20°, а неговото изображение, средно взето, има същата ширина и яркост, както следата на звездата Вега (α = 18.5h, δ = +38.0°), която попада в същия кадър. Известно е, че метеорното тяло е летяло хоризонтално, започнало е да свети и е угаснало на височина 100 км над земната повърхност.

Оценете размера на метеорното тяло. Считайте, че 1% от неговата кинетична енергия се превръща в светлина. Скоростта на метеорните частици от роя на Персеидите относно Земята е 59 км/сек. Намаляването на скоростта на метеорното тяло в атмосферата да се пренебрегне.

Решение

Трековете на Вега и на метеора имат еднаква дебелина и яркост. Това, което ги различава, е ъгловата скорост, с която са се движили обектите, които са ги породили. Ъгловата скорост на Вега е:

\omega_V=\omega_0\cdot\cos\delta=5.75\cdot10^{-5}\ \mathrm{s^{-1}}

където $\omega_0$ е ъгловата скорост на въртене на небесната сфера. При определяне на ъгловата скорост на метеора вземаме предвид това, че той се е наблюдавал в зенита и е летял перпендикулярно на лъча на зрение:

\omega_M=\frac vh=\frac{59\ \mathrm{km/s}}{100\ \mathrm{km}}=0.59\ \mathrm{s^{-1}}

където v е линейната скорост на метеорното тяло, а h е височината на метеора. Виждаме, че ъгловите скорости на Вега и на метеора се различават на 4 порядъка. Въпреки това те са оставели еднакви по ширина и плътност следи. Следователно осветеността на всеки пиксел от изображението на метеора и на трека на Вега е право пропорционална на ъгловата скорост на двете светила. Тогава, от отношението на осветеностите, може да намерим видимата звездна величина на метеора:

m_M=m_V-\lg\frac{\omega_M}{\omega_V}=-10^{\mathrm m}

За определяне на осветеността от метеора използваме слънчевата константа и абсолютната звездна величина на Слънцето:

J_M=J_0\cdot10^{-0.4(m_M-m_0)}=1.14\cdot10^{-4}\ \mathrm{W\,m^{-2}}

Времето, през което метеорът излъчва светлинна енергия, получаваме от ъгловия размер и ъгловата скорост на метеора:

\Delta t=\frac{\alpha_M}{\omega_M}=\frac{20^\circ/57^\circ.3}{0.59}=0.6\ \mathrm s

Пълният поток енергия от метеора на единица площ е:

F=J_M\cdot\Delta t=6.84\cdot10^{-5}\ \mathrm{J\,m^{-2}}

Тогава пълната светлинна енергия, излъчена от метеора е:

E_M=4\pi h^2\cdot F\approx8.6\cdot10^6\ \mathrm J

Кинетичната енергия на метеорното тяло преди навлизането в атмосферата е била 100 пъти по-голяма:

E_{0M}=100\cdot E_M\approx8.6\cdot10^8\ \mathrm J

От кинетичната енергия получаме оценка за масата m на метеорното тяло:

E_{0M}=\frac{mv^2}{2}\Rightarrow m=\frac{2E_{0M}}{v^2}\approx0.5\ \mathrm{kg}

Изразяваме масата чрез радиуса и плътността:

m=\frac43\pi R^3\rho\Rightarrow R=\left(\frac3{4\pi}\cdot\frac m\rho\right)^{1/3}\approx0.05\ \mathrm m=5\ \mathrm{cm}

При пресмятането на радиуса приехме, че плътността е приблизително $1\ \mathrm{g/cm^3}$ защото метеорният поток Персеиди е породен от комета ( кометата 109P/Swift–Tuttle) и плътността на частиците е сравнима с плътността на леда или по-малка.) Следователно размерът на метеорното тяло е около 10 cm.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За правилен подход при определянето на блясъка на метеора – 5 т.

За правилен числен отговор – 1 т.

За определяне на енергията, излъчена от метеора – 3 т.

За правилен метод за пресмятане на масата на метеорното тяло – 4 т.

За правилно предположение за плътността на метеорното тяло – 1 т.

За правилна числена оценка за масата – 1 т.

Оригинал в Архива: NOA4_2016_STproblems.pdf · официални решения: NOA4_2016_STsolutions.pdf