Съдържание

НОА 2016, IV кръг, Старша възраст — Задача 4. Странният астероид

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2016

ХVІІІ НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · IV кръг, 12 юли 2016 г., х. Бузлуджа, теоретичен тур · Старша възраст · 12 юли 2016 г. · 15 т.

Условие

Един астероид се движи по елиптична орбита около Слънцето, в равнината на еклиптиката. При възможно най-близкото преминаване на астероида до Земята, неговата звездна величина за земния наблюдател е 7.22 $^{m}$ . Следващата опозиция на астероида се наблюдава след 2 години и половина, като тогава неговата звездна величина за нас е 11.54 $^{m}$ .

Приемаме, че орбитата на земята е кръгова.

Справочни данни:
Звездна величина на Луната в Пълнолуние: - 12.7 $^{m}$
Радиус на Луната: 1 738 km
Разстояние Земя-Луна: 384 000 km
1 AU = 149.6 млн. km
Радиус на орбитата на Юпитер: 5.2 AU
Диаметър на Юпитер: 143 600 km

Намерете орбиталния период на астероида и голямата полуос на орбитата му;

Определете ексцентрицитета на орбитата на астероида.

Ако е известно, че повърхността на астероида, има сходни свойства с тази на Луната, то намерете радиуса му.

За колко време астероидът би пресякал диаметъра на диска на Юпитер при наблюдение от Земята, в момента в който астероидът се намира максимално близо до нашата планета.

Решение

А) Тъй като интералът от време между две последователни опозиции на астероида е 2.5 години, то на толкова е равен синодичният му период TSIN. Ако Т и ТЗ са орбиталните периоди, съответно на астероида и Земята, то можем да запишем следното равенство:

\frac{1}{T_{\mathrm{SIN}}}=\frac{1}{T_{\text{З}}}-\frac{1}{T}

Оттук:

T=\frac{T_{\mathrm{SIN}}\cdot T_{\text{З}}}{T_{\mathrm{SIN}}-T_{\text{З}}}=\frac{5}{3}\ \text{години}

Голямата полуос на орбитата а намираме, използвайки третия закон на Кеплер, записан за Слънчевата система:

a[\mathrm{AU}]^3=T[\text{г}]^2

Следователно: $a\approx1.41\ \mathrm{AU}$ .

Б) Възможно най-голямото сближаване между Земята и астероида се получава, когато той се намира едновременно в опозиция, относно нашата планета и е в перихелия на своята орбита. Ако е е търсеният ексцентрицитет на орбитата му, то перихелийното и афелийното разстояние са:

r_{\text{П}}=a(1-e)

r_A=a(1+e)

Следователно съответните разстояния до Земята са:

r_1=r_{\text{П}}-1\ \mathrm{AU}

r_2=r_A-1\ \mathrm{AU}

Нека да ознавим осветеностите, които астероидът създава въвху Земята, в двете положения с Е1 и Е2. Понеже, в двете положения единствените величини, които се променят са разстоянието между астероида и Слънцето и разстоянието астероид-Земя, то за да сравним двете осветености, трябва да отчетем влиянието само на тези два фактора. Следователно, за отношението на осветеностите можем да запишем следното равенство:

\frac{E_1}{E_2}=\frac{r_2^2}{r_1^2}\frac{r_A^2}{r_{\text{П}}^2}=\frac{[(1+e)a-1\mathrm{AU}]^2}{[(1-e)a-1\mathrm{AU}]^2}\frac{(1+e)^2}{(1-e)^2}=10^{0.4(m_2-m_1)}\approx53.5

Нека да означим с Х полученото съотношение. След преработка на горния израз, получаване следното квадратно уравнение:

ae^2(1-\sqrt X)+e(2a-1)(1+\sqrt X)+(a-1)(1-\sqrt X)=0

Оттук намираме решение е ≈ 0,192.

В) Означаваме звездната величина на пълната Луна с $m_{\text{Л}}==12^{\mathrm m}.7$ , a осветеността, която тя създава върху нас с ЕЛ. От закона на Погсон можем да намерим:

\frac{E_{\text{Л}}}{E_1}=10^{0.4(m_1-m_{\text{Л}})}\approx9.3\cdot10^7

Казано е, че свойствата на повърхността на астероида и Луната са сходни, поради което можем да приемем, че те имат едно и също албедо. Нека с RЛ да означим радиуса на Луната, а с R търсения радиус на астероида. За осветеностите, които те създават върху Земята можем да запишем:

E_1\sim\frac1{r_1^2}\frac{R^2}{r_{\text{П}}^2}\quad\text{и}\quad E_{\text{Л}}\sim\frac1{(1\mathrm{AU})^2}\frac{R_{\text{Л}}^2}{r_{\text{З-Л}}^2}.

Оттук следва, че:

\frac{E_{\text{Л}}}{E_1}=\frac{R_{\text{Л}}^2}{R^2}\frac{r_1^2}{r_{\text{З-Л}}^2}\frac{r_{\text{П}}^2}{(1\mathrm{AU})^2}

Следователно:

R=\sqrt{\frac{E_1}{E_{\text{Л}}}}\frac{r_1}{r_{\text{З-Л}}}\frac{r_{\text{П}}}{1\mathrm{AU}}R_{\text{Л}}\approx10.9\ \mathrm{km}

Г) Скоростта на астероида, в момента в който той се намира в перихелия на орбитата си е:

V_{\text{П}}=\sqrt{\frac{GM_{\text{Сл}}}{a}}\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\approx37.1\ \mathrm{km/s}

Скоростите на Земята и Юпитeр по техните орбити са съответно:

V_{\text{З}}=\sqrt{\frac{GM_{\text{Сл}}}{r_{\text{З}}}}\approx29.82\ \mathrm{km/s}\quad\text{и}

V_{\text{Ю}}=\sqrt{\frac{GM_{\text{Сл}}}{r_{\text{Ю}}}}\approx13.10\ \mathrm{km/s},

където rЮ e радиусът на юпитеровата орбита. Виждаме, че линейната скорост на Земята е по-малка от тази на астероида. Това означава, че гледано от нашата планета, по време на опозицията си, той няма да извършва ретроградно движение, т.е. ще се движи от запад на изток, на фона на звездите. Скоростта на Юпитер, разбира се, е по-малка от земната. Следователно, за земен наблюдател, в този момент, той ще се движи от изток на запад (ретроградно движение). Видимите ъглови скорости на астероида и Юпитер, относно нашата планета са:

\omega_A=\frac{V_{\text{П}}-V_{\text{З}}}{r_1}\approx0.074\prime\prime/\mathrm s

\omega_{\text{Ю}}=\frac{V_{\text{З}}-V_{\text{Ю}}}{r_{\text{Ю}}-1\mathrm{AU}}\approx5.5\cdot10^{-3}\prime\prime/\mathrm s.

За да намерим относителната ъглова скорост на астероида, спрямо Юпитер (ω), ние трябва да съберем двете видими ъглови скорост, защото гледано от нашата планета, те се движат на фона на неподвижните звезди, в две противиположни посоки. Получаваме: $\omega=\omega_A+\omega_{\text{Ю}}\approx0.079\prime\prime/\mathrm s$ . Видимият ъглов размер на Юпитер, гледано от Земята в този момент е:

\delta_{\text{Ю}}=\frac{D_{\text{Ю}}}{r_{\text{Ю}}-1\mathrm{AU}}\approx47\prime\prime

Оттук намираме, че времето, за което астероидът пресича диаметърът на Юпитер е:

t=\frac{\delta_{\text{Ю}}}{\omega_{\text{Ю}}}\approx594\ \mathrm s,

Критерии за оценка (Общо – 15т.):

А) – 2т.

за намиране на сидеричния период на астероида – 1т
за прилагане на третия закон на Кеплер и намиране на голямата полуос – 1т.

Б) – 4т.

за прилагане на закона на Погсон и намиране отношението на осветеностите – 0,5т
за правилно изразяване на отношението на осветеностите, чрез орбиталните параметри на астероида и Земята – 2т.
за правилни математически преобразования – 1т.
за верен числен резултат – 0,5т.

В) – 4т.

за прилагане на закона на Погсон и намиране колко пъти Луната е по-ярка от астероида – 0,5т
за правилно съобразяване на факторите от които зависи отношението на осветеностите на Луната и астероида – 2т.
за правилни математически преобразувания – 1т.
за верен числен резултат – 0,5т.

Г) – 5т.

за правилно изразяване на всички линейни скорости и верни числени резултати – 1т.
за правилно изразяване на ъгловите скорости и верни числени стойности – 1,5т.
за съобразяване на относителното движение на астероида и Юпитер и намиране на относителната ъглова скорост – 1т.
за правилен метод за намиране на търсеното време – 1т.
за верен числен резултат – 0,5т.

Оригинал в Архива: NOA4_2016_STproblems.pdf · официални решения: NOA4_2016_STsolutions.pdf