НОА 2017, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 1. Далечно пътешествие

• Стрелец (или Змиеносец)

  Скоростта на станцията относно Слънцето е отклонена на $\psi \approx 37.3^\circ$ на запад от направлението Земя – Слънце, т.е. към западната граница на Стрелец; тъй като там еклиптиката пресича участък от Змиеносец, действителното съзвездие е Змиеносец. Критериите приемат за краен отговор Стрелец или Змиеносец.

Решение:

Да означим скоростта на Земята по нейната орбита около Слънцето с $v_0$, скоростта на Voyager 1 относно Слънцето с $v$ и скоростта на станцията относно Земята с $v'$. Те са равни съответно на 30 км/с, 17.0 км/с и 23.9 км/с. Очевидно:

Отбелязваме на схемата скоростта на Земята относно Слънцето. После построяваме триъгълник от векторите на трите скорости. Ъгълът между векторите $\vec{v_0}$ и $\vec{v}$ не може да е тъп, защото срещулежащата му страна – векторът $\vec{v'}$ – не е най-дългата страна в този триъгълник. Следователно са възможни два варианта за направлението на скоростта на космическата станция $\vec{v}$ спрямо орбиталната скорост на Земята $\vec{v_0}$, които са означени на схемата с А и В.

В условието е казано, че в дадения момент относителната скорост на станцията спрямо Земята $v'$ се е променяла от по-високи към по-ниски стойности. Оттук заключаваме, че ситуацията се описва от вариант В на схемата. При този вариант в следващите дни векторът на орбиталната скорост на Земята около Слънцето ще се завърта така, че ще сключва все по-малък ъгъл със скоростта на станцията относно Слънцето. В резултат на това, относителната скорост на станцията спрямо Земята ще намалява.

Станцията се е отдалечила вече от Слънцето на разстояние, което е над 100 пъти по-голямо от радиуса на земната орбита. Практически направлението, в което тя се вижда за земния наблюдател, не зависи от това къде се намира в същия момент Земята по своята орбита. За да определим в кое съзвездие се намира Voyager 1 за земния наблюдател, ние трябва да намерим в каква посока е ориентирана неговата скорост $\vec{v}$ относно Слънцето. Да пресметнем ъгъла $\varphi$. Използваме косинусовата теорема:

Сега можем да намерим ъгъла $\psi$:

В условието се казва, че орбитата на космическия апарат е в равнина, близка до тази на еклиптиката. На 31 януари за нас Слънцето трябва наскоро да е навлязло в съзвездието Козирог. Скоростта на Voyager 1 относно Слънцето е отклонена на 37.3° в посока запад от напралението Земя – Слънце. Следователно ние трябва да виждаме станцията към западната граница на предното зодиакално съзвездие, което е Стрелец.

Като знаем, че между съзвездията Скорпион и Стрелец еклиптиката пресича един участък от Змиеносец, можем да предположим, че сега космическата станция се намира за нас в това съзвездие. Оказва се, че в действителност е точно така – Voyager 1 понастоящем е в съзвездието Змиеносец.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За обща геометрична представа за разположението на векторите на трите скорости и векторното съотношение между тях – 2 т.
За обосновка защо ъгълът между скоростите v и v₀ не може да е тъп (което изключва още други два варианта) – 1 т.
За правилен избор между двата варианта А и В – 2 т.
За обяснение защо направлението, в което виждаме станцията, съвпада с направлението на нейната скорост относно Слънцето – 1 т.
За пресмятания на необходимите ъгли – 2 т.
За разсъждения по въпроса в кое съзвездие е станцията – 3 т.
За посочване като краен отговор на съзвездията Стрелец или Змиеносец – 1 т.